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课时跟踪练 (三十一 ) A 组基础巩固 1数列 0,1,0,1,0,1,0,1,的一个通项公式是an 等于() A.(1) n1 2 Bcos n 2 Ccos n1 2 Dcos n2 2 解析: 令 n1,2,3,逐一验证四个选项,可得D 正确 答案: D 2(2019 承德实验中学模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn,a1 1,Sn2an1,则 Sn() A2n 1 B. 3 2 n1 C. 2 3 n1 D. 1 2 n1 解析:Sn2an12Sn12Sn? 3Sn2Sn1? Sn1 Sn 3 2 , 故数列 Sn 为等比数列,公比是 3 2,又 S 11,所以 Sn1 3 2 n1 3 2 n1 , 故选 B. 答案: B 3(2019 常德调研 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn2an n,则 a10() A210B29C129D1210 解析: 当 n1 时,a12a11,所以 a11. 当 n2 时,由 Sn2ann, 得 Sn12an1(n1), 由得, an2an2an11,所以 an2an11.所以 an1 2(an11)又易知 an1, 所以 an1 an112,所以 an12 2 n12n.所以 a n12 n.所 以 a101210.故选 D. 答案: D 4(2019 江西重点中学盟校联考 )在数列an中,a1 1 4,an1 1 an1(n2,nN * ),则 a2 018的值为() A 1 4 B5 C.4 5 D.5 4 解析: 在数列 an中,a1 1 4,an1 1 an1(n2,nN * ), 所以 a21 1 1 4 5,a311 5 4 5,a41 1 4 5 1 4 , 所以an是以 3 为周期的周期数列, 所以 a2 018a67232a25, 故选 B. 答案: B 5 (2019 郑 州 毕 业 班 质 量 预 测 ) 已 知f(x) (2a1)x4,x1, ax,x1, 数列an(nN*)满足 anf(n),且an是递 增数列,则 a 的取值范围是 () A(1, ) B. 1 2, C(1,3) D(3,) 解析: 因为an是递增数列, 所以 a1, a22a14, 解得 a3, 则 a 的取值范围是 (3, ) 答案: D 6在数列 1,0, 1 9, 1 8, n2 n2 ,中,0.08是它的第 _ 项 解析: 令 n2 n 20.08,得 2n225n500, 则(2n5)(n10)0,解得 n10 或 n 5 2(舍去) 所以 a100.08. 答案: 10 7已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 an0(nN*),又 anan1 Sn,则 a3a1_ 解析: 因为 anan1Sn, 所以令 n1 得 a1a2S1a1,即 a21, 令 n2 得 a2a3S2a1a2,即 a31a1,所以 a3a11. 答案: 1 8(2019 山东、湖北部分重点中学联考)已知数列 an的前 n 项 和为 Sn,若 a12,an1an2n 11,则 S 10_ 解析: a12,an1an2n 11? a n1an2 n11 ? an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1? an 2n 22n321n1a 1 12 n1 12 n122n 1n. S10122 229123101(12 10) 12 1011 2 1 078. 答案: 1 078 9 (2016 全国卷 )已知各项都为正数的数列an满足 a11, a2 n (2an11)an2an10. (1)求 a2,a3; (2)求an的通项公式 解:(1)由题意得 a2 1 2,a3 1 4. (2)由 a2 n(2an11)an2an10 得 2an1(an1)an(an1) 因为an的各项都为正数,所以 an1 an 1 2. 故an是首项为 1,公比为 1 2的等比数列,因此 an 1 2 n1. 10已知 Sn为正项数列 an的前 n 项和,且满足 Sn 1 2 a2 n1 2an(n N*) (1)求 a1,a2,a3,a4的值; (2)求数列 an的通项公式 解:(1)由 Sn1 2a 2 n 1 2 an(nN*)可得 a11 2a 2 1 1 2a1,解得 a11; S2a1a2 1 2a 2 21 2a2,解得 a22; 同理, a33,a44. (2)Sna n 2 1 2a 2 n, 当 n2 时,Sn1a n1 2 1 2a 2 n1, 得 (anan11)(anan1)0. 由于 anan10,所以 anan11, 又由(1)知 a11, 故数列 an为首项为 1,公差为 1 的等差数列, 故 ann. B 组素养提升 11(2019 长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列 an中, a12, an1 n1 an n ln 1 1 n ,则 an() A2nln nB2n(n1)ln n C2nnln nD1nnln n 解析:由题意得 an1 n1 an n ln(n1)ln n, an n an1 n1ln nln(n 1), an1 n1 an2 n2ln(n1)ln(n2), an2 n2 an3 n3 ln(n2)ln(n 3),a 2 2 a 1 1 ln 2ln 1,累加得 an n a 1 1 ln nln 1ln n, 所以 an n 2ln n,所以 an2nnln n,故选 C. 答案: C 12(2019 衡水中学检测 )若数列 an满足 a119,an1an3(n N*),则数列 an的前 n 项和数值最大时, n的值为 () A6 B7 C8 D9 解析: 因为 a119,an1an3, 所以数列 an是以 19 为首项, 3 为公差的等差数列, 所以 an19(n1)(3)223n. 设an的前 k 项和数值最大,则有 ak0, ak10, 即 223k0, 223(k1)0,解得 19 3 k 22 3 ,因为 kN*,所以 k 7. 所以满足条件的n的值为 7. 答案: B 13(2019 菏泽模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn (1)n an 1 2n,记 b n8a2 2 n1,若对任意的 nN* ,总有 b n10 成立,则实数 的取值范围为 _ 解析: 令 n1,得 a1 1 4; 令 n3,可得 a22a3 1 8 ; 令 n4,可得 a2a3 3 16; 故 a21 4, 即 bn8a 2 2 n12n. 由 b n10 对任意的 nN * 恒成立, 得 1 2 n 对任意的 nN*恒成立, 又 1 2 n1 2, 所以实数 的取值范围为 1 2, . 答案: 1 2, 14已知数列 an的通项公式是 ann 2kn4. (1)若 k5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时, an有最 小值?并求出最小值 (2)对于 nN*,都有 an1an,求实数 k 的取值范围 解:(1)由 n25n40, 解得 1n4. 因为 nN*,所以 n2,3. 所以数列中有两项是负数,即为a2,a3. 因为 ann25n4 n 5 2 29 4, 由二次函数性质,得当n2 或 n3 时,an有最小值,其最小 值为 a2a32. (2)由 an1an知该数列是一个递增数列, 又因为通项公式ann2kn4, 可以看作是关于n 的二次函数, 考虑到 nN*,所以 k 2 3 2,即 k3. 所以实数 k 的取值范围为 (3, )
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