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一次函数 一、定义与定义式:自变量x 和因变量y 有如下关系: y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。 特别地,当b=0 时, y 是 x 的正比例函数。即:y=kx (k 为常数, k0) 二、一次函数的性质: 1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例,比值为k 即: y=kx+b (k 为任意不为零 的实数b 取任何实数) 2.当 x=0 时, b 为函数在 y 轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像 一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2 点,并连成直线即可。 (通常找函数图像与x 轴和 y 轴的交点) 2性质:( 1)在一次函数上的任意一点P(x,y) ,都满足等式:y=kx+b 。 (2)一次函 数与 y 轴交点的坐标总是(0,b),与 x 轴总是交于( -b/k ,0)正比例函数的图像总是过 原点。 3k,b 与函数图像所在象限: 当 k0时,直线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k0时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 当 b 0时,直线必通过一、二象限; 当 b=0 时,直线通过原点 当 b 0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=O 时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。这时,当 k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点 A(x1,y1) ;B(x2,y2) ,请确定过点A、B 的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b 。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y) ,都满足等式y=kx+b 。所以可以列出2个方 程: y1=kx1+b 和 y2=kx2+b (3)解这个二元一次方程,得到k,b 的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用: 1.当时间 t 一定,距离s 是速度 v 的一次函数。 s=vt 。 2.当水池抽水速度f 一定,水池中水量g 是抽水时间t 的一次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft 。 六、常用公式: 1.求函数图像的k 值:( y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点:|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点:|y1-y2|/2 4.求任意线段的长:(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注:根号下(x1-x2) 与( y1-y2) 的平方和) 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系:y=ax2+bx+c (a,b,c 为常数, a0,且 a 决定函数的开口方向,a0 时,开口方向向上,a0 时, y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到, 当 h0,k0 时,将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位,再向上移动k 个单位,就可以 得到 y=a(x-h)2 +k的图象; 当 h0,k0 时,将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位,再向下移动|k| 个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象; 当 h0 时,将抛物线向左平行移动|h| 个单位,再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h) 2+k的图象; 当 h0,k0 时,开口向上,当a0 ,当 x -b/2a 时, y 随 x 的增大而减小;当x -b/2a时, y 随 x 的增大而增大若a0,图象与x 轴交于两点A(x?,0)和 B(x?,0) ,其中的 x1,x2 是一元二 次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x ?-x?| 当 =0 图象与x 轴只有一个交点; 当 0 时,图象落在x 轴的上方, x 为任何实数时,都有 y0 ;当 a0 时,图象落在x 轴的下方, x 为任何实数时,都有y0(a0),则当 x= -b/2a时, y 最小 (大)值 =(4ac-b2)/4a 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y 的三对对应值时,可设解析式为一 般形式: y=ax2+bx+c(a0) (2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h) 2+k(a0) (3) 当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x ?)(x- x?)(a 0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次 函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现 反比例函数 形如yk x(k 为常数且k0) 的函数,叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质: 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴 作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为k。 如图,上面给出了k 分别为正和负(2和-2)时的函数图像。 当 K 0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数 当 K 0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。 知识点: 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形 的面积为 | k |。 2.对于双曲线ykx ,若在分母上加减任意一个实数(即 yk( xm )m 为常数 ), 就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平 移) 对数函数 对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a 的规 定,同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形,因为它们 互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1,0)这点。 (4)a 大于 1时,为单调递增函数,并且上凸;a 小于 1大于 0时,函数为单调递减函数, 并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 指数函数 指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x 能够取整 个实数集合为定义域,则只有使得 如图所示为a 的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到: (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于 0,对于 a 不大于 0的情 况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a 大于 1,则指数函数单调递增;a 小于 1大于 0,则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律,就是当a 从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0) , 函数的曲线从分别接近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1 是从递减到递增的 一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴,永不相交。 (7) 函数总是通过(0, 1)这点。 (8) 显然指数函数无界。 奇偶性 注图:( 1)为奇函数(2)为偶函数 1定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有 f(-x)= f(x) ,那么函数f(x) 就叫做奇函 数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x) 就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立,那么函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数 f(x) 既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 说明: 奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这 个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、 偶性的定义经过化简、整理、再与f(x) 比较得出结论) 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2奇偶函数图像的特征: 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y 轴或轴对称图形。 f(x) 为奇函数f(x) 的图像关于原点对称点(x,y)( -x,-y ) 奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。 偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算 (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 定义域 (高中函数定义)设A,B 是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应,那么就称f:A-B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中, x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫作函数的定义域; 值域 名称定义 函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应 变量所有值的集合 常用的求值域的方法 (1)化归法; (2)图象法(数形结合) , (3)函数单调性法, (4)配方法, (5)换元法, (6)反函数法(逆求法) , (7)判别式法, (8)复合函数法, (9)三角代换法, (10)基本不等式法等 关于函数值域误区: 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“ 元件 ” 。平时数学中,实行“定义域优先 ” 的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈 化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手 “软” ,使学生对函数的掌握时好时坏, 事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互 相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限 集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须 联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案, 从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求 法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。 “范围 ”与“值域 ”相同吗? “范围 ”与“值域 ”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈, 实际上这是两个不同的概念。“值域 ”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个 函数的取值) ,而 “范围 ” 则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一 定都满足这个条件) 。也就是说 :“值域 ”是一个 “范围 ” ,而 “范围 ”却不一定是 “值域 ” 。
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