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MATLAB在数值分析中的应用,开课单位:数学系 1学分 张敏洪(数学系) mh_ 考试方式: 作业完成 平时占60,最后占40 有课外上机时间,讲义、作业、部分参考资料可下载。 ftp:/,主要参考书:,科学计算引论基于MATLAB的数值分析 美Shoichiro Nakamura 电子工业出版社 高等应用数学问题的MATLAB求解 薛定宇 陈阳泉 著 清华大学出版社 MATLAB与科学计算 王谟然 编著 电子工业出版社 MATLAB6.0数学手册 蒲俊等编著 蒲东电子出版社,第一章 计算机数学语言概述,1.1 数学问题计算机求解概述 数学问题求解 手工推导(只解决部分问题) 借助计算机 用数值分析技术,从底层编写起 采用成形的数值分析算法、数值软件包与手工编程相结合的求解方法。 用专门计算机语言来求解 MATLAB、Mathematica、Maple等,例:求 方程的解 在 是给定数值时,数值分析的方式是可用。 当不是给定数值时,数值分析的方式不可用。 必须使用计算机数学语言来求解。,例 矩阵行列式求解问题 代数余子式 1 个 n 阶行列式可以表示成 n 个 n-1 阶行列式的和, 可以将高阶矩阵行列式转换成1阶矩阵行列式 结论:任意矩阵行列式解析解存在 问题:忽略了可计算性 n=20, 银河机,3000年,实例:Hilbert 矩阵,n=20 传统数值分析结论:矩阵奇异 双精度级别下的数值解 -1.1004e-195,该矩阵行列式的精确结果,近似值,计算时间 0.2 秒,1.1.1 数学问题的解析解与数值解,数学家和其他科学技术工作者的区别 数学家:理论严格证明、存在性 工程技术人员:如何直接得出解 解析解不能使用的场合 不存在 数学家解决方法,引入符号erf(a) 工程技术人员更感兴趣积分的值数值解,解析解不能使用的场合 解析解不存在:无理数,无限不循环小数 p 数学家:尽量精确地取值 工程技术人员:足够精确即可 祖充之 3.14159263.1415927 解析解存在但不实用或求解不可能 高阶矩阵行列式,1.1.2 数值解应用场合,在力学领域,常用有限元法求解偏微分方程; 在航空、航天与自动控制领域,经常用到数值线性代数与常微分方程的数值解法等解决实际问题; 工程与非工程系统的计算机仿真中,核心问题的求解也需要用到各种差分方程、常微分方程的数值解法; 在高科技的数字信号处理领域,离散的快速Fourier 变换 (FFT) 已经成为其不可或缺的工具。 ,1.1.3 数学运算问题软件包发展概述,享有国际声望的软件包 线性代数LINPACK 矩阵特征值计算 EISPACK NAG (Oxford: Numerical Algorithm Group) Press W H, Flannery B P, Teukolsky S A, and Vitterling W T. Numerical recipes, the art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press, 1986 (C,Fortran,Pascal算法语言源程序软件包),软件包作用,从历史发展角度,起了不可替代的作用 对计算机数学语言的强有力支持 但不能过多依赖 使用烦琐 应该在计算机数学语言的意义下利用之,考虑一个实际编程例子,如何编写一个能求出两个矩阵相乘的计算机通用子程序? 该程序正确吗?错误,未考虑矩阵是否可乘,是否正确?,错误,未考虑其一为标量,加入标量判定,是否就是通用程序了?,错误,考虑其一或二者为复数矩阵,可见,用最底层的编程语言需要考虑的内容要 多得多,所以调试起来不容易,容易出现漏洞,MATLAB 实现:C=A*B,1.2 计算机数学语言概述,1.2.1 计算机数学语言 MATLAB 1984 v1 The MathWorks Inc MATrix LABoratory 1980 Cleve Moler, New Mexico University 自动控制学科的应用 Mathematica Maple SciLAB:免费,全部源代码公开,1.2.2 三个代表性计算机数学语言,“三个代表”:MATLAB, Mathematica, Maple MATLAB 数值运算、程序设计,广泛应用 Mathematica、Maple 解析运算、数学公式推导、定理证明 MATLAB+符号运算工具箱+Maple 可以推导公式,可以调用Maple功能,MATLAB 语言的优势,编程简单,类似于其他语言,如C 集成度更高,扩展性更好 数学问题数值解能力强大 由Maple内核构成的符号运算工具箱可以继承Maple所有解析解的求解能力 在数学、工程领域各种“工具箱” 强大的系统仿真能力,Simulink建模 在控制界是国际首选的计算机语言,1.3 MATLAB科学计算的主要内容,三大基本功能:数值计算、符号计算、图形处理 程序设计与应用程序接口 MATLAB科学计算中的应用 在数值分析中的应用 在复变函数中的应用 在偏微分方程解法中的应用 在概率统计中的应用 在最优化问题中的应用,数学问题的非传统解法 模糊逻辑与模糊推理 神经网络在数据拟合中的应用 遗传算法在最优化求解中的应用 小波理论在数据处理中的应用 粗糙集理论与应用 分数阶微积分理论与计算 在建模仿真中的应用 ,1.4 MATLAB在数值分析中的应用,多项式与插值 数据的曲线拟合 数值微分与数值积分 线性代数 非线性方程求根 常微分方程的初值问题 常微分方程的边值问题,
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