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1 2020 年江西省第二次高考模拟考试 文科数学试题与答案 (满分 150 分,考试时间120 分钟) 注意事项: 1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码 准确粘贴在条形码区域内。 2回答选择题时, 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无 效。 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1已知集合yxyxM,|),(为实数 , 且2 22 yx,yxyxN,|),(为实数 , 且2yx, 则NM的元素个数为() A 0 B1 C2 D3 2若复数满足 3 (1)12i zi, 则z等于() A 10 2 B 3 2 C 2 2 D 1 2 3. 已知直线l和平面,,且l,则“l”是“”的() A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 函数 1 tan() 23 yx的最小正周期为() A. 4 B. 2 C. D. 2 5. 公元 263 年左右, 我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限 逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的 近似值 3.14 ,这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图, 则输出 n 的值为() (参考数据: sin15 =0.2588,sin7.5 =0.1305) 2 A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 6. 函数xxxxxf 22 cos3cossin2sin)(的最小正周期和最小值分别是() A. ,0 B. 2,0 C. , 22D. 2,22 7. 如图所示,一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2 的正三角形,其俯视图 轮廓为正方形,则其体积是() A. 3 6 B. 4 2 3 C. 4 3 3 D. 8 3 8. 已知椭圆的焦点分别为,点,在椭圆上,于, ,则椭圆方程为() A. B. 3 C. D. 9. 若 x、y 满足约束条件,则 z=3x-2y 的最小值为() A. B. C. D. 5 10. 设,则的大小关系为() A. B. C. D. 11. 直线是抛物线在点处的切线,点是圆上的动点,则点 到直线的距离的最小值等于( ) A. B. C. D. 12.已知函数,若方程有四个不同的解,且 ,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20 分。 13. 已知函数2sinfxxx,当0,1x时,函数 yfx 的最大值为 _ . 14. 已知函数fx是奇函数,当0 x时,lgfxx,则 1 100 ff的值为 _ 15. 已知在等比数列 n a中, 0 n a, 22 2415 9002aaa a, 53 9aa,则 2020 a的个位数字是 _。 16. 已知三棱锥ASBC的体积为 2 3 3 , 各顶点均在以SC为直径球面上,2,2ABACBC, 则这个球的表面积为_。 三、解答题:共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题,每个试 4 题考生都必须作答。第22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60 分。 17. (12 分) 已知向量(cos ,1),(3, 2sin)mxnx (1)当 mn时,求 2 3 cos sin 1cos xx x 的值; (2)已知钝角ABC中,角B为钝角,, ,a b c分别为角,A B C 的对边,且2 sin()cbAB, 若函数 22 ( )4f xmn,求( )f B的值 18. (12 分) 随着高考制度的改革,某省即将实施“语数外+3”新高考的方案,2019 年秋季入学的高一新生 将面临从物理(物) 、化学(化)、生物(生)、政治(政) 、历史(历)、地理(地)六科中任选三科 (共 20 种选法)作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“ 3”某市为了顺利地迎接新高考 改革, 在某高中200 名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查,每个学生只能从表格中的20 种课 程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表: 序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 组合 学科 物化 生 物化 政 物化 历 物化 地 物生 政 物生 历 物生 地 物政 历 物政 地 物历 地 人数20 人5 人10 人10 人5 人15 人10 人5 人0 人5 人 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 合计 化生 政 化生 历 化生 地 化政 历 化政 地 化历 地 生政 历 生政 地 生历 地 政历 地 5 人10 人5 人25 人200 人 为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系,用分层抽样的方法从这200 名学生中抽取40 人的样本进行分析 (1) 样本中选择组合20 号“政历地”的有多少人?若以样本频率作为概率,求该高中学生不选 物理学科的概率? (2) 从样本中选择学习生物且学习政治的学生中随机抽取3 人,求这 3 人中至少有一人还学习历 5 史的概率? 19. (12 分) 如图, 多面体 ABCDEF中,四边形 ABCD 是边长为2 的菱形, 且平面 ABCD 平面DCE AF DE , 且 AF 1 2 DE 2,BF 2 2 (1)求证: AC BE ; (2)若点 F 到平面 DCE的距离为3,求直线 EC与平面 BDE所成角的正弦值 20. (12 分) 已知点Q是圆上的动点,点,若线段QN的垂直平分线MQ于点P. ( 1)求动点P的轨迹E的方程 ( 2)若A是轨迹E的左顶点,过点D(-3 ,8)的直线l与轨迹E交于B,C两点,求证:直线 AB、AC的斜率之和为定值. 21 (12 分) 设函数 2 ( )(1)(1) x h xx ea x ( 1)若函数( )h x在点(0, (0)h处的切线方程为2ykx,求实数k与a的值; ( 2)若函数( )h x有两个零点 12 ,x x,求实数a的取值范围。 (二)选考题:共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。 22 选修 44:坐标系与参数方程 (10 分) 已知直线l 的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建建 立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 ( 1)求曲线C的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程; 6 ( 2)若直线与曲线 C交于点不同于原点,与直线l 交于点 B,求的值 23 选修 45:不等式选讲 (10 分) 已知函数. ( 1)当时,求不等式的解集; ( 2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围 . 参考答案 一、选择题 7 1.B 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题 13.2sin1 14. 2lg 15. 7 16. 16 三、解答题 17. (1)mn, 3cos2sinxx,即 3 tan 2 x 22 3cos sin3tan6 1cos2tan11 xxx xx , (2)2 sincbAB,sin2sin sinCBC 1 sin0,sin 2 CB, 由角B为钝角知 5 6 B 22 4421fxmncos x, 5 4cos13 3 fB. 18. 解: (1)由分层抽样可得,样本中选择组合20 号“政历地”的有人 由表格数据可知,选物理学科的包含1-10 号组合, 共人 则不选物理学科有人 所以样本中不选物理学科有人 设事件 A表示“该高中学生不选物理学科”,以样本频率作为概率, 则 ( 2)由表格数据可知,选择学习生物且学习政治的组合有2 号, 11 号, 17 号, 18 号,共有 人,其中还学习历史的组合只有17 号,共 10 人 所以样本中选择学习生物且学习政治的学生共有人, 其中还学习历史的有人, 设既学习生物和政治还学习历史的2 人为,其他 3 人为, 则从中任选3 人的基本事件有:, 共 10 种, 8 其中符合题意的基本事件共有9 种. 由古典概型可得,这3 人中至少有一人还学习历史的概率为 19. (1)2AFAB, 2 2BF , 222 AFABBF , 90FAB,即AFAB. / /AFDE,/ABCD, DE DC. 平面ABCD平面DCE,DE 平面DCE,平面ABCD平面DCEDC, DE平面ABCD, AC DE. 四边形ABCD为菱形, ACBD. 由,且DEBDD, AC平面BDE. ACBE. (2)设ACBDO,连接OE. 由( 1)AC平面BDE,OE是EC在平面 BDE内的射影, EC与平面BDE所成的角为CEO. / /AFDE,AF平面DCE,DE 平面DCE, / /AF平面DCE, 点 F到平面DCE的距离等于点A到平面DCE的距离 . 在平面 ABCD内作AHCD,交CD延长线于H. 平面 ABCD 平面DCE, 9 AH平面DCE, 3AH . (或转化为点 B到平面DCE的距离) 2AD ,60ADH, 菱形ABCD中,60BDC, 3 3 2 OCCD. 在Rt DEC中, 22 2 5ECDCDE , 315 sin 102 5 OC OEC CE . EC与平面BDE所成角的正弦值为 15 10 . 20. 解: (1)由题可知,线段的垂直平分线交于点 P, 所以,则, 所以 P的轨迹是以为焦点的椭圆, 设该椭圆方程为, 则,所以, 可得动点P的轨迹 E的方程为. (2)由( 1)可得,过点D的直线斜率存在且不为0, 故可设l的方程为, 由得, 而 10 由于直线过点,所以, 所以(即为定值) 21. 解: (1)因为( )2 x h xxeax,所以(0)0kh 又因为(0)1ha,所以12a,即1a (2)因为 2 (1) x x eaxa,所以 2 (1) 1 x x e a x , 令 2 (1) 1 x x e fx x , 则 22 2222 (23)(1)2 (1)(1) xx x xxx x fxee xx , 令0fx,解得0 x,令0fx,解得0 x, 则函数fx在(,0)上单调递增,在(0,)上单调递减, 所以 max 01fxf, 又当1x时,0fx,当1x时,0fx, 画出函数fx的图象,要使函数fx的图象与 ya有两个不同的交点,则01a , 即实数的取值范围为(0,1). 22. (1), 曲线 C的直角坐标方程为 直线 l 的参数方程为(t 为参数), 直线 l 的极坐标方程为 11 (2)将代入曲线C的极坐标方程得, A 点的极坐标为 将代入直线l 的极坐标方程得,解得 B 点的极坐标为, 23. (1)当时,即, 当时,得,所以; 当时,得,即,所以; 当时,得成立,所以. 故不等式的解集为. (2)因为, 由题意得,则, 解得, 故的取值范围是.
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