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高中数学 椭圆与方程 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内,到两定点 1 F 、 2 F 的距离之和为定长 12 22 ,0aF Fa a的点的轨迹称为椭圆,其中两定点 1 F 、 2 F 称为椭 圆的焦点,定长2a称为椭圆的长轴长,线段 12F F的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义. 2、椭圆的简单性质 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 顶点坐标 ,0Aa、0,Bb,0Ab、0,Ba 焦点坐标 左焦点 1 ,0Fc,右焦点 2 ,0Fc上焦点 1 0,Fc ,下焦点 2 0,Fc 长轴与短轴长轴长2a、短轴长2b长轴长2a、短轴长2b 有界性axa, bybaya,bxb, 对称性 关于x轴对称,关于y轴对称,同时也关于原点对称. cba、 之间关系 222 cba 3、焦半径 椭 圆 上 任 意 一 点P到 椭 圆 焦 点F的 距 离 称 为 焦 半 径 , 且,PFac ac , 特 别 地 , 若 00 (,)P xy为 椭 圆 22 22 10 xy ab ab 上的任意一点, 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c为椭圆的左右焦点,则 10 |PFaex , 20 |PFaex ,其 中 c e a . 4、通径 过椭圆 22 22 10 xy ab ab 焦点F作垂直于长轴的直线,交椭圆于A、B两点,称线段AB为椭圆的通径,且 2 2b AB a . 5、焦点三角形 P为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上的任意一点, 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c为椭圆的左右焦点,称 12 PFF 为椭圆的焦点三角 形,其周长为: 12 22 F PF Cac,若 12 F PF,则焦点三角形的面积为: 12 2 tan 2 F PF Sb. 6、过焦点三角形 直线l过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点 1 F ,与椭圆交于 11 (,)A xy、 22 (,)B xy两点,称 2 ABF 为椭圆的过焦点三 角形,其周长为: 2 4 ABFCa ,面积为 21 2 yycS ABF . 高中数学 7、点与椭圆的位置关系 00 ,P xy为平面内的任意一点,椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab :若 22 00 22 1 xy ab ,则P在椭圆上;若 22 00 22 1 xy ab , 则P在椭圆外;若 22 00 22 1 xy ab ,则P在椭圆内 . 8、直线与椭圆的位置关系 直线:0lAxByC,椭圆: 22 22 1(0) xy ab ab ,则 l与相交 22222 a Ab BC; l与相切 22222 a Ab BC; l与相离 22222 a Ab BC. 9、焦点三角形外角平分线的性质(* ) 点( , )P x y是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的动点, 12 ,FF是椭圆的焦点,M是 12 F PF的外角平分线上一点,且 2 0F M MP,则OMa,即动点M的点的轨迹为 222 xyaxa. 10、椭圆上任意两点的坐标性质 1122 ,A xyB xy为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上的任意两点,且 12 xx,则 222 12 222 12 yyb xxa . 【推广 1】 直线 l 过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的中心,与椭圆交于 1122 ,A xyB xy两点,P为椭圆上的任意一点, 则 2 2 APBP b kk a (, APBP kk均存在) . 【推广 2】 设直线 11 0lyk xm m:交椭圆 22 22 10 xy ab ab 于CD、两点,交直线 22 lyk x:于点E若E为 CD的中点,则 2 12 2 b k k a . 11、中点弦的斜率 000 ,0Mxyy为椭圆 22 22 10 xy ab ab 内的一点,直线l 过M与椭圆交于,A B两点,且AMBM ,则直 线 l 的斜率 2 0 2 0 AB b x k a y . 12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值 若A、B为椭圆C: 22 22 10 xy ab ab 上的两个动点,O为坐标原点,且OAOB则 22 11 |OAOB 定值 22 11 ab 高中数学 【典型例题】 例 1、 直线1ykx与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点,则m的取值范围是_ 【变式 1】已知方程1 35 22 k y k x 表示椭圆,则k的取值范围 _ 【变式 2】椭圆1 22 22 m x m y 的两个焦点坐标分别为_ 例 2、 已知圆1003: 2 2 yxA,圆A内一定点3,0B,圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程 . 【变式 1】已知圆11: 22 1 yxO,圆91: 22 2 yxO, 动圆M分别与圆 1 O相外切,与圆 2 O相内切 . 求动圆圆心M所在的曲线的方程. 【变式 2】 已知ABC的两个顶点坐标为( 4,0),(4,0)AB,ABC的周长为 18, 则顶点C的轨迹方程为_ 【变式 3】已知动圆P过定点03,A,且在定圆643 22 yxB:的内部与其相内切,求动圆的圆心P的轨迹 方程 高中数学 例 3、 若P是椭圆1 34 22 yx 上的点, 1 F和 2 F是焦点,则 (1) 21 PFPF的取值范围为_ (2) 12 PFPF的取值范围为 _ (3) 22 12 PFPF的取值范围为 _ 【变式1】点( ,)P x y是椭圆 22 1 94 xy 上的一点, 12 ,FF是椭圆的焦点,M是 1 PF的中点,且 1 2PF,O为 坐标原点,则OM_. 【变式 2】点( , )P x y是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的动点, 12 ,F F是椭圆的焦点,M是 12 F PF的外角平分线 上一点,且 2 0F M MP,则动点M的轨迹方程为_ 例 4、已知椭圆 22 1 2516 xy 内有一点2,1A,F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点,求PAPF的最大值与最 小值 _ 【变式】若椭圆1 716 22 yx 的左、右两个焦点分别为 1 F、 2 F, 过点 1 F的直线l与椭圆相交于A、B两点,则BAF2 的周长为 _ 例 5、 12 ,F F是椭圆 2 2 1 4 x y的焦点,点 P为其上动点,且 12 60F PF,则 12 F PF的面积是 _ 【变式】焦点在轴x上的椭圆方程为 2 2 2 1(0) x ya a ,1F、 2 F是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点B,使得 12 2 F BF,那么实数a的取值范围是_. 高中数学 例 6、 已知椭圆 2 2 1 2 x y, (1)求过点 1 1 2 2 P ,且被 P平分的弦所在的直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过(21)A,引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程. (4)椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ斜率满足 2 1 OQOP kk, 求线段PQ中点M的轨迹方程 例 7、已知椭圆1 34 22 yx C: ,试确定m的取值范围,使得对于直线mxyl4:,椭圆C上有不同的两点关 于该直线对称 高中数学 例 8、 已知椭圆14 22 yx及直线mxy (1)当m为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 5 102 ,求直线的方程 例 9、已知定点2,0A,动点B是圆64)2(: 22 yxF(F为圆心) 上一点, 线段AB的垂直平分线交BF 于P. (1)求动点P的轨迹方程; (2)直线13xy交P点的轨迹于,M N两点,若P点的轨迹上存在点C,使,OCmONOM求实数m 的值; 高中数学 例 10、 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x (0ba) , 过点,0Aa,0,Bb 的直线倾斜角为 6 , 原点到该直线的距离为 2 3 (1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的直线过1,0D与椭圆交于E,F两点,若DFED2,求直线EF的方程; (3)是否存在实数k,直线2kxy交椭圆于P,Q两点, 以PQ为直径的圆过点( 1,0)D?若存在, 求出k的 值;若不存在,请说明理由 高中数学 例 11、若AB是经过椭圆 22 1 2516 xy 中心的一条弦点, 12 ,FF分别为椭圆的左、右焦点,求 1F AB的面积的最大 值. 【变式 1】已知直线l与椭圆 2 2 1 3 x y交于A B、两点, 坐标原点O到直线l的距离为 3 2 ,求AOB的面积的最 大值 . 【变式 2】斜率为1的直线l与椭圆 22 1 42 xy 交于AB、两点,O为坐标原点, 求AOB面积取最大值时直线l的 方程 . 【变式 3】已知定点)0,(aA和椭圆82 22 yx上的动点),(yxP (1)若2a且 2 23 | PA,计算点P的坐标; (2)若30a且| PA的最小值为1,求实数a的值 . 高中数学 【变式4】如图,椭圆的中心在原点,2,0 ,0,1AB是它的两个顶点,直线(0)ykx k交线段AB于点D, 交椭圆于,E F两点 . (1)若6EDDF,求直线的斜率k; (2)求四边形AFBE的面积S的最大值 . 【变式 5】椭圆 22 2 10 4 xy b b 的一个焦点是1,0F (1)求椭圆的方程; (2)已知点P是椭圆上的任意一点,定点M为x轴正半轴上的一点,若PM的最小值为 8 5 ,求定点M的坐标; (3)若过原点O作互相垂直两条直线,交椭圆分别于,A C与,B D两点,求四边形ABCD面积的取值范围. A x F E B y D 高中数学 【变式 6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点3,0 ,3,0 的距离之和为4,设点P的轨迹为曲线C,直 线l过点( 1,0)E,且与曲线C交于,A B两点 . (1)求曲线C的方程; (2)以AB为直径的圆能否通过坐标原点?若能通过,求此时直线l的方程,若不能,说明理由. (3)AOB的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值,以及此时的直线方程,若不存在,请说明理由. 例 12、已知椭圆 222 2(0)xyaa的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4 (1)求椭圆C的方程; (2) 已知直线)1(xky与椭圆C交于A、B两点,试问,是否存在x轴上的点,0M m, 使得对任意的kR, 高中数学 MA MB为定值,若存在,求出M点的坐标,若不存在,说明理由. 【变式 1】过椭圆 22 1 82 xy 长轴上某一点,0S s(不含端点)作直线l(不与x轴重合)交椭圆于,M N两点,若 点,0T t满足:8OS OT,求证:MTSNTS. 【变式 2】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点 3 1, 2 在椭圆C上 (1)求椭圆C的方程; (2) 设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作方向向量2,1d的直线l交椭圆C于A、B两点,求证: 22 PAPB 为定值 高中数学 【变式3】如图,A为椭圆 22 22 +10 xy ab ab 上的一个动点,弦,AB AC分别过椭圆的的左右交点 12 ,F F.当 ACx轴时,恰好 12 3AFAF (1)求 c a 的值 (2)若 111 AFF B, 222 AFF C,试判断 12是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由 . 【变式 4】线段,A B分别在x轴,y轴上滑动,且3AB,M为线段AB上的一点,且1AM,M随,A B的 滑动而运动 (1)求动点M的轨迹方程E; A x C 2 F1F B y 高中数学 (2)过(3,0)N的直线交
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