1 2020 年河北省第一次高考模拟考试 文科数学试题与答案 （满分 150 分，考试时间120 分钟） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码 准确粘贴在条形码区域内。 2回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无 效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 设全集 UxN| 1x5 ，集合 A1 ，3 ，则集合 ?UA的子集的个数是（） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 2. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（） A. i（1+i ） 2 B. i 2（1i ） C. （1+i ） 2 D. i （ 1+i ） 3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所 示的茎叶图 , 有以下结论： 甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； 甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数； 从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定； 从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。 其中所有正确结论的编号为（） A. B. C. D. 4. 已知直线，直线为，若则( ) A或 B 2 C D或 5. 已知, 条件甲：；条件乙：, 则甲是乙的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（） A B C D 7. 在中， a，b，c 分别是角A， B ，C的对边，则角 B=（） A. B. C. D. 8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（） A. 25 B. 9 C. 17 D. 20 9. 设直线 1: 210lxy 与直线A的交点为 A； ,P Q分别为 12 ,ll上任意两点， 点M为,P Q的中 点，若 1 2 AMPQ，则 m的值为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 10. 在VABC中， sin3 2 sinBA，2BC ，且 4 C =，则 AB （） A. 26 B. 5 C. 3 3 D. 2 6 3 11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为 （） A. B. C. D. 12. 已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，且三 棱锥的体积为，则球的体积为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13. 已知 ABC中 ABCAa则,45,2外接圆的面积为 . 14. 已知 )1 ,3(,3,1 baba且，则ba . 15. 已知函数 2 log,0 3 ,0 x x x fx x ，则 1 2 ff的值为 _ 16. 设变量xy，满足约束条件 2 0 1 xy xy y ，则目标函数2zxy 的 最大值为 _ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17. （12 分） 已知函数，数列为等差数列，其中，为的最小值 . （ 1）求的通项公式 . （ 2）已知是正项等比数列，求的通项公式，并求的前项和 . 18. （12 分） 如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆 周上（异于、 ） ，点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径 4 为 1，高为 2. （1）若平面平面，证明：； （2）若直线平面，求到平面的距离 . 19. （12 分） 按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在100 ，120）内，则为合格品，否则为不合 格品某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设 备生产的大量产品中各抽取了50 件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测表是甲套设备的样 本频数分布表，图1 是乙套设备的样本频率分布直方图 表 1：甲套设备的样本频数分布表 质量指标值95 ，100） 100 ，105）105 ，110）110 ，115）115 ，120） 120 ，125 频数1 4 19 20 5 1 （ 1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000 件产品，则其中合格品约有多少件？ （ 2）填写下面22 列联表，并根据列联表判断是否有95% 的把握认为这种产品的质量指标值与 甲乙两套设备的选择有关： 5 甲套设备乙套设备合计 合格品 不合格品 合计 （2）根据表和图，对甲、乙两套设备的优劣进行比较 参考公式及数据：x 2= P（ 2k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 20. （12 分） 已知椭圆：， 过点的直线 ：与椭圆交于M、N两点（M点在 N点的上方），与轴交于点E. （1）当且时，求点M、N的坐标； （2）当时，设，求证：为定值，并求出该值； （3）当时，点D和点F关于坐标原点对称，若MNF的内切圆面积等于，求直线的方 程. 21 （12 分） 设函数， f （x） =lnx+，kR （1）若曲线y=f （x）在点（ e，f （e） ）处的切线与直线x-2=0 垂直，求f （x）的单调递减区间 和极小值（其中e 为自然对数的底数） ； （2）若对任意x1x20，f （x1）-f （x2） x1-x2恒成立，求k 的取值范围 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是. （ 1）求曲线的直角坐标方程； （ 2）设过点且倾斜角为的直线和曲线交于两点，求的值 . 6 23 选修 45：不等式选讲 （10 分） 设函数 （ 1）求不等式解集； （ 2）关于 x 的不等式在实数范围内有解，求实数a的取值范围。 参考答案 7 一、选择题 1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A 11.A 12.D 二、填空题 13.8 14.2 15. 1 3 16.5 三、解答题 17. （1）因为，所以， 的最小值为1，所以. 因为是等差数列，所以公差， 所以的通项公式. （2）因， 且公比，所以公比. 的通项公式， 所以. 18. （1）面面，面面 又，平面平面 平面 （2）连接 ，平面，平面 平面 又直线平面，平面平面 到平面的距离等于到平面的距离 取线段的中点 ， 平面 所以到平面的距离为 为弧中点 在等腰直角三角形中， 8 所求距离为 19. （1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为（0.01+0.022 ）5=0.16； 乙套设备生产的5000 件产品中不合格品约为50000.16=800（件） ； （2）由表 1 和图得到列联表： 甲套设备乙套设备合计 合格品48 42 90 不合格品2 8 10 合计50 50 100 将列联表中的数据代入公式计算得K 2= =43.841 ； 有 95% 的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； （3）由表 1 和图知，甲套设备生产的合格品的概率约为=0.96 ， 乙套设备生产的合格品的概率约为1-0.16=0.84， 且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105 ，115）之间， 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散； 因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定， 所以甲套设备优于乙套设备 20. 解： (1) 当m=k=1 时，联立，解之得：或， 即M(0， 1) ，N (，) ； (2) 当m=2 时联立，消去y得：， 设M(x1，y1) ，N (x2，y2) ，则， 由，且点的横坐标为0， 得、. 从而 9 = =， 为定值 3； (3) 当m=3 时，椭圆：，假设存在直线满足题意，则的内切圆的半 径为，又、为椭圆的焦点，故MNF的周长为8， 从而， 消去，得，设、， 则. 故，即. 由(2) ，得， 化简，得，解得， 故存在直线满足题意 21. （1）由条件得， 曲线在点处的切线与直线垂直，此切线的斜率为0，即，有 ，得， ，由得，由得 在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值 故的单调递减区间为，极小值为2 （2）条件等价于对任意恒成立， 设 则在上单调递减， 则在上恒成立， 10 得恒成立， （对仅在时成立）， 故 的取值范围是 22. （1）将，代入， 得曲线的直角坐标方程为. 即为曲线的直角坐标方程. 由得， (2) 法 1：依题意得直线，与椭圆联立得， 即， 法 2：依题意得直线，与椭圆联立得，即， 法 3：依题意得直线（为参数），与椭圆联立得 ，即， 23. 解： （），即，则， 当时，解得， 当时，解得， 所以原不等式的解集为： （）由不等式在实数范围内有解可得， 在实数范围内有解， 令，则， 11 因为， 所以，即