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2.4 测量误差的合成和分配,误差合成理论研究在间接测量中,如何根据若干个直接测量量的误差求总测量误差的问题;误差分配理论则研究在给定系统总误差的条件下,如何将总误差分配给各测量分项,即如何对各分项误差提出要求,以达到系统测量精度要求。,1误差传递公式 设一个被测量 由两个分项 、 ,其函数表达式为 则绝对误差传递公式为 式中 被测量 的绝对误差; 直接测量量 的绝对误差; 直接测量量 的绝对误差。,2.4.1 测量误差的合成,(2-18),(2-19),相对误差传递公式为 式中 被测量 的相对误差; 直接测量 的绝对误差; 直接测量 的绝对误差。,(2-20),同理,当被测量 由m个分项合成时,误差传递公式为 式中 第i个测量分项的测量值; 直接测量量 的绝对误差。 一般,若 的函数关系为和、差关系时,常先求总合的绝对误差,若函数关系为积、商或乘方、开方关系时,常先求总合的相对误差比较方便。,(2-21),(2-22),例1:用间接测量法测量电阻消耗的功率,若电阻、电压和电流测量相对误差分别为 、 和 ,问所求功率的相对误差为多少? 例2:用伏安法测电阻时,若测量电压和电流的相对误差为 、 ,试问所求电阻的相对误差为多少?若 为4%, 为3%, 为多少?,2系统误差的合成 若测量中各种随机误差可以忽略,则总和的系统误差可由各分项系统误差合成。 式中 系统误差的总和; 直接测量各分项的系统误差。,(2-23),3随机误差的合成 若各分项的系统误差为零,则同理可求总合的随机误差 式中 随机误差的总和; 直接测量各分项的随机误差。,(2-24),已知各分项方差,求总合方差的公式为 标准差的计算公式为,(2-25),(2-26),1等准确度分配 当总误差中各分项性质相同(量纲相同)、大小相近时,采用等准确度分法,即分配给各分项的误差彼此相同。 若总误差为 ,各分项的误差为 ;标准差为 , 令 ; ,则分配给各项的误差为,2.4.2 测量误差的分配,(2-27),(2-28),例:有一个电源变压器,已知初级线圈与两个次级线圈的匝数比N12:N34:N45=1:2:2,用最大量程为500V的交流电压表测量次级线圈的总电压,要求相对误差小于2%,问应该选用哪个级别的电压表?,2等作用分配 当分项误差性质不同时,采用等作用分配方法。在这种分配方式中,分配给各分项的误差在数值上不一定相等,但它们对测量误差总和的作用是相同的。 对于系统误差,在式(2-23)中,令 。则分配给各分项的误差为,(2-29),对于随机误差,在式(2-25)中,令 , 则分配给各分项的误差为,(2-30),例:间接测量电阻上消耗的功率,已测出电流为100mA,电压为3V,算出功率为300mW,若要求功率测量的系统误差不大于5%,随机误差的标准差不大于5mW,问电压和电流的测量误差应在多大范围内,才能保证上述功率误差的要求。,3抓住主要误差项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时,就可以不考虑次要分项的误差,或酌情分给次要分项少量误差比例,确保主要项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项,这时可把误差在这几个主要误差项中分配,考虑采用等准确度或等作用分配原则。,2.5 测量结果的描述与处理,对测量结果可采用正确度,精密度和准确度三种评价方法。 1正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。系统误差愈大,正确度愈低;系统误差愈小,正确度愈高。,2.5.1 测量结果的评价,2精密度 表示测量结果中随机误差的大小程度,也简称为精度。随机误差的大小可用测量值的标准偏差 来衡量, 越小,测量值越集中,测量的精密度越高;反之,标准确偏差 越大,测量值越分散,测量精密度越低。,3准确度 是测量结果系统误差与随机误差的综合,表示测量结果与真值的一致程度。在一定的测量条件下,总是力求测量结果尽量接近真值,即力求准确度高。,图2.3 测量结果的图形评价,(a)正确度高、精密度低,精密度、正确度均高,(b)精密度高、正确度低,1.误差位对齐法 误差位对齐法采用的方法是测量误差的小数点后面有几位,则测量数据的小数点后面也取几位。,2.5.2 测量数据的整理,例:用一块0.5级的电压表测量电压,当量程为10V时,指针落在大于8.5V的附近区域,这时测量数据应取几位? 例:用一块0.5级电压表的100V量程进行测量,指示值为85.35V,试确定有效数字位数。,2有效数字表示法 (1)有效数字 所谓有效数字,是指在测量数值中,从最左边一位非零数字算起到含有存疑数字为止的各位数字。一般数据的最后一位是欠准确度的估计字,称为存疑数字。,(2)数字的舍入规则 (1) 小于5舍去舍去部分的数值小于所保留末位的0.5个单位时,末位不变。 (2) 大于5进1舍去部分的数值大于所保留末位的0.5个单位时,末位增1。 (3) 等于5时,取偶数舍去部分的数值恰好等于所保留末位的0.5个单位时,则当末位是偶数,末位不变;末位是奇数,末位增1(将末位凑成偶数)。,例:将下列数据舍入到小数第二位。 12.434412.43 63.7350163.74 0.694990.69 25.325025.32 17.695517.70 123.1150123.12 需要注意的是,舍入应一次到位,不能逐位舍入。 上例中0.69499,正确结果为0.69 ,错误做法是: 0.694990.69500.6950.70。 在“等于5”的舍入处理上,采用取偶数规则,是为了在比较多的数据舍入处理中,使产生正负误差的概率近似相等。,常用被测量的量值和它的不确定度共同表示测量结果,表达式为 式中 测量值的算术平均值; 被测量的不确定度,一般为 在实际应用中,常以绝对误差的形式表示。,2.5.3 测量结果的表示方法,(2-31),(2-32),1将测量数据按先后次序列表。 2用公式 求算术平均值。 3用公式 求每一次测量值的 剩余误差。 4用公式 计算标准差的估计 值 。,2.5.4 等精度测量结果的数据处理,5.按莱特准则判断粗大误差,即根据 剔除坏值。 6.重新计算 和 ,再判别有无粗大误差。 7.用公式 求算术平均值的标准 差估计值。 8.用公式 求算术平均值的不确 定度。 9.写出测量结果的表达式 。,实验曲线的绘制,通常采用平滑法和分组平均法。 1平滑法作图 如图2.4(a)所示,先将实验数据 标在直角坐标上,再将 各点用折线依次相连,然后从起点到终点作一条平滑曲线,使其满足以下等量关系 式中 曲线以下的面积和; 曲线以上的面积和。,2.5.5 实验曲线的绘制,(2-33),平滑法作图示意,如图2.4(b),将所有实验数据 标在坐标上,先标出相邻的两个数据点连线的中点,再将所有中点连成一条光滑的曲线;或用3个数据点连线的重心点连成一条光滑曲线。由于取中点(或重心点)的过程就是取平均值的过程,所以减小了随机误差的影响。,2分组平均法,分组平均法作图示意,2.6 最佳测量方案选择,最佳测量方案是使总误差为最小的测量方案,是使系统误差和随机误差都减少到最小的测量方案。即做到 即上述和式中每一项都达到最小时,总误差就会最小。,例:测量电阻R消耗的功率时,可间接测量电阻值R,电阻上的压降U,流过电阻的电流I,设电阻、电压、电流测量的相对误差分别为R=2%,U=2%, I=3%,试确定测量的最佳方案。,本章小结,由于仪器误差、人身误差、方法误差和环境误差的原因,所有的测量结果与真值都会有误差。 误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 绝对误差仅能说明测量结果偏离实际值的情况;相对误差可以说明测量的准确度,可分为实际相对误差、示值相对误差、满度相对误差。,根据测量误差的性质,可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 在实际测量时应根据误差性质进行判断和处理。 粗大误差明显偏离测量结果,是不允许的,可采用莱特准则予以剔出。 系统误差反映了测量的正确度,一般采用加修正值或典型的电路技术来消除或减小。,随机误差反映了测量的精密度,体现了各种随机变量对测量结果的影响,是不可避免的,常采用多次等精度测量来减小随机误差的影响。 测量时应兼顾误差大小、测量的难易程度及其他因素选择最佳测量方案。,
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