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2.2.2反证法 一、基础过关 1反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是() 与已知条件矛盾与假设矛盾与定义、公理、定理矛盾与事实矛盾 AB CD 2否定:“自然数a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为() Aa,b,c 都是偶数 Ba, b,c 都是奇数 Ca, b,c 中至少有两个偶数 Da,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 3有下列叙述: “ ab”的反面是“ay 或 x0,x11 且 xn1x n x 2 n3 3x 2 n1 (n1,2, ),试证:“数列xn对任意的正整数n 都满足 xnxn1”,当此题用反证法否定结论时应为() A对任意的正整数n,有 xn xn1 B存在正整数n,使 xnxn1 C存在正整数n,使 xnxn1 D存在正整数n,使 xnxn1 9设 a,b,c 都是正数,则三个数a1 b,b 1 c ,c 1 a( ) A都大于2 B至少有一个大于2 C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2 10若下列两个方程x 2(a1)xa20, x22ax2a0 中至少有一个方程有实根,则实 数 a 的取值范围是 _ 11已知 a,b, c,dR,且 abcd1,acbd1, 求证: a,b,c,d 中至少有一个是负数 12已知 a,b, c(0,1),求证: (1a)b,(1b)c, (1 c)a 不可能都大于 1 4. 三、探究与拓展 13已知函数f(x)a xx2 x1 (a1),用反证法证明方程f(x)0 没有负数根 答案 1D 2D3B4B5B 6存在一个三角形,其外角最多有一个钝角 7a,b 不全为 0 8D 9C 10 a 2 或 a 1 11证明假设 a,b,c,d 都是非负数, 因为 a bcd1, 所以 (ab)(cd)1, 又(ab)(cd)acbdadbcacbd1,这与上式相矛盾,所以a,b,c,d 中至少有 一个是负数 12 证明假设三个式子同时大于 1 4, 即(1a)b1 4,(1 b)c 1 4,(1c)a 1 4, 三式相乘得 (1a)a (1b)b (1c)c 1 4 3, 又因为 0a1, 所以 0a(1a)(a1a 2 ) 21 4. 同理 0b(1b)1 4, 0c(1c)1 4, 所以 (1a)a (1b)b (1c)c 1 4 3 与 矛盾,所以假设不成立,故原命题成立 13 证明假设方程f(x) 0 有负数根,设为x0(x01)则有 x01, 0ax01, 0 x02 x011. 解上述不等式,得 1 2x02.这与假设 x00 矛盾 故方程 f(x)0 没有负数根
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