1 2.3.42.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 教学目标：教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性 质定理的认识 教学重、难点：教学重、难点： 重点重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程：教学过程： 师： 好， 在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直 的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论 交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直 二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个 平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通 过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研 究的： （2.3.42.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质） 2 那我们来探究这样一个问题： 黑板所在的平面与地面所在 的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂 直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：已知： =CD 求证：求证： 内一直线与内一直线与 垂直垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析： 要证明一条直线与一个平面垂直， 这就需要证明这 条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与 平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交 直线都与这条直线垂直，那不妨在 内作 BECD 于点 B, 在 内过点 B 作ABCD 3 证明： 在 内作 BECD 于点 B，在 内过点 B 作 ABCD BECD 二面角ABE为直二面角 =CD ABBE CDBE BE ABCDB 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂 直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我 们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一平面垂直。直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所 学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关 系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们 需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设 ，点 P 在平面 内，过点 P 作 的垂线 a，那么直线 a 与 有什么位 4 置关系？ 分析：点 P 可以在 与 的交线上，也 可以不在交线上，那么作两个图： 解：设 =c ，过点 P 作 bc，由性质定理得 b 过一 点有且只有一条直线与另一个平面垂直，故 a 与 b 重合，则 a 在平面 内 推论：两个平面垂直，那么经过平面内推论：两个平面垂直，那么经过平面内 5 一点垂直于另一平面的直线在这个平面内。一点垂直于另一平面的直线在这个平面内。 这个推论用来证明一条直线在一个平面内。这种方法就 叫做“同一法” 。 例：如图，平面 ，直线 a 满足 a， a 不在平面 内，试判断 a 与平面 有什么 位置关系？ 分析：从图上观察可知 a/，要证明这个 结论，则需在 内找一直线和 a 平行，根据 前面所学直线和平面垂直的性质定理有同 时垂直于同一平面的两直线平行。下面写一 写证明过程： 证明： 6 在 内作 bc b =c a/b a a不在平面内 b在平面内 a/ 课堂小结 对于面面垂直的性质定理要注意的是两 个垂直的平面是前提，我们可以通过面面垂 直得到线线垂直再进一步得到线面垂直。这 些转化规律在问题的应用中起到了决定性 的作用，是解题的突破口。 再一个就是证明过平面内一点的直线在 这个平面内用到“同一法”也就是说证明另 7 一条直线和这条直线重合。