1 3.1.1 椭圆及其标准方程 基础达标 1. 椭圆 2x 2 y 28 的焦点坐标是 ( ) A( 2， 0) B(0 ， 2) C( 23，0) D(0 ， 23) 解析：选 B. 椭圆标准方程为 x 2 4 y 2 8 1， 椭圆焦点在y轴上，且c 2 844， 焦点坐标为(0， 2) 2. 椭圆 x 2 25 y 2 m 1 的一个焦点坐标为(3 ，0) ，那么m的值为 ( ) A 16 B 4 C16 D4 解析：选 C. 焦点在x轴且c 3，由 25m9，m16. 3. 已知方程 x 2 k1 y 2 3k1( kR) 表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( ) Ak3 B1k1 Dk3k0， 1k|F1F2| 2， 动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a2，c1， b 2 a 2c23，轨迹方程为 x 2 4 y 2 3 1. 答案： x 2 4 y 2 3 1 7. 已知F1，F2为椭圆 x 2 25 y 2 9 1 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若 |F2A| |F2B| 12，则 |AB| _ 解析：由于 |AB| |F2A| |F2B| 4a20， |AB| 20(|F2A| |F2B|) 20128. 答案： 8 8.若方程 x 2 k2 y 2 5k1 表示椭圆，则实数 k的取值范围是 _ 解析：由方程 x 2 k2 y 2 5k1 表示椭圆， 可得 k20， 5k0， k25k， 解得 2k5 且k 7 2. 即当 2k7 2或 7 2k|PF2| ， 求| PF1| |PF2| 的值 (2) 当F1PF2为钝角时， |PF2| 的取值范围 解：(1) PF1PF2，F1PF2为直角，则 |F1F2| 2| PF1| 2| PF2| 2. 20 |PF 1| 2 | PF2| 2， |PF1| |PF2| 6， 3 解得 |PF1| 4，|PF2| 2， |PF1| |PF2| 2. (2) 设|PF1| r1，|PF2| r2，则r1r26. F1PF2为钝角， cosF1PF20. 又 cosF1PF2 r 2 1r 2 220 2r1r2 0，r 2 1r 2 28， (6 r2)r28， 2r2ab的顶点A的轨迹 解： (1) 如图，设椭圆的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)，有 |AM| |AC| 2a， |BM| |BC| 2a， 两式相加，得8424a， a22，|AM| 2a |AC| 4224 22. 在直角三角形AMC中， |MC| 2| AM| 2| AC| 281624， c 26，b2 4 2. 故所求椭圆的标准方程为 x 2 642 y 2 42 1. (2) 由已知条件可得bc2a， 则|AC| |AB| 2|BC| 4|BC| ， 结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦 距为 2. 以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐 标系，如图所示 设顶点A所在的椭圆方程为 x 2 m 2 y 2 n 21(mn0) ，则m2，n 222123，从而椭圆方程 为x 2 4 y 2 3 1. 又cab且A是ABC的顶点，结合图形，易知x0，y0. 故顶点A的轨迹是椭圆 x 2 4 y 2 3 1 的右半部分 (x0，y0) 能力提升 1. 设过点P(x，y) 的直线分别与 x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与 点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP 2PA ，且OQ AB 1，则P点的轨迹方程是( ) A. 3 2x 23y21( x0，y0) B. 3 2x 23y21( x0，y0) 4 C3x 23 2y 2 1( x0，y0) D3x 23 2y 2 1( x0，y0) 解析：选 A. 由题意Q坐标为 ( x，y)(x0，y0) ，设A(x0，0) ，B(0 ，y0) ， 由BP 2PA 得(x，yy0) 2(x0 x，y) ， x2x0 2x yy0 2y ，即 y03y x03 2x . 由OQ AB 1 得( x， y) ( x0，y0) 1， x0 xy0y1，把 y03y x0 3 2x 代入上述得 3 2x 2 3y 2 1( x0，y0) 2. 设(0， 2 ) ，方程x 2sin y 2cos 1 表示焦点在y轴上的椭圆，则的取 值范围是 _ 解析： 方程x 2sin y 2cos 1 可化为 x 2 1 sin y 2 1 cos 1. 椭圆的焦点在y轴上， 1 cos 1 sin 0. 又 (0， 2 ) ， sin cos 0， 4 0，n0) 根据椭圆的定义，得mn 20. 在F1PF2中，由余弦定理， 得|PF1| 2| PF2| 22| PF1| |PF2| cosF1PF2|F1F2| 2， 即m 2 n 22mn cos 3 12 2， m 2 n 2mn 144，即 (mn) 23mn 144. 20 23mn 144，即mn256 3 . 又SF1PF2 1 2| PF1| |PF2| sin F1PF21 2mn sin 3 ， 5 SF1PF2 1 2 256 3 3 2 64 3 3 . (2) a 10 ， 根 据 椭 圆 的 定 义 ， 得 |PF1| |PF2| 20. |PF1| |PF2| 2|PF1| |PF2| ， |PF1| |PF2| |PF1| |PF2| 2 2 20 2 2 100， 当且仅当 |PF1| |PF2| 时，等号成立， |PF1| |PF2| 的最大值是100. 4已知F1，F2为椭圆C： x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直 于x轴的直线MF2交椭圆于M，设 |MF2| d. (1) 证明：d，b，a成等比数列； (2) 若M的坐标为()2，1 ，求椭圆C的方程； (3) 在(2) 的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA OB 0，求直线l 的方程 解： (1) 证明：由条件知M点的坐标为()c，y0，其中 |y0| d， c 2 a 2 d 2 b 21，db1c 2 a 2 b 2 a， d b b a，即 d，b，a成等比数列 (2) 由条件知c2，d1， b 2 a1 a 2 b 22， a2 b2 ， 椭圆方程为 x 2 4 y 2 2 1. (3) 设点A(x1，y1) 、B(x2，y2) ， 当lx轴时，A( 2， 1) 、B( 2，1) ，所以OA OB 0. 设直线l的方程为yk(x2) ， 代入椭圆方程得(1 2k 2) x 24 2k 2x4k240. 所以 x1x2 42k 2 12k 2， x1x24k 24 1 2k 2， 由OA OB 0 得x1x2y1y20， x1x2k 2( x12)(x22) (1k 2) x1x22k 2( x1x2) 2k 20， 代入得 （1k 2）（ 4k24） 12k 2 42k 2 2k 2 12k 22k 20，解得 k2. 所以直线l的方程为y2(x2)