1 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 【选题明细表】 知识点、方法题号 线面垂直性质的理解3,4,10 面面垂直性质的理解1,2 线面垂直性质的应用4,6 面面垂直性质的应用5,7,8,9,11,12 1. 已知两个平面垂直,下列说法 : 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一 条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线一个平面内的任 一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此垂线必垂直于 另一个平面 . 其中正确说法个数是( C ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 解析 : 如图在正方体ABCDA1B1C1D1中, 对于 AD1? 平面 AA1D1D,BD? 平面 ABCD,AD1与 BD是异 面直线 , 成角 60, 错误 ; 正确 . 对于 ,AD1? 平面 AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于 , 如果这点为交线上的点, 可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直, 错误 . 故选 C. 2.(2018 陕西西安一中月考) 在空间四边形ABCD中, 平面 ABD 平面 BCD,且 DA平面 ABC, 则 ABC是( A ) (A) 直角三角形(B) 等腰三角形 (C) 等边三角形(D) 等腰直角三角形 解析 : 过点 A作 AH BD于点 H,由平面 ABD 平面 BCD,得 AH 平面 BCD,则 AH BC.又 DA 平 面 ABC,所以 BC AD,所以 BC 平面 ABD,所以 BC AB,即 ABC为直角三角形 . 故选 A. 3. 如果直线l,m 与平面 , , 之间满足 :l= ,l ,m? 和 m , 那么 ( A ) (A) 且l m (B)且 m (C)m且 l m (D)且 解析 : 由 m ? ,m得 , 由 l= , 得 l ? , 所以 m l. 故选 A. 4. 已知 m,n 是两条不同直线, ,是两个不同平面, 则下列命题正确的是( D ) (A) 若 , 垂直于同一平面, 则与平行 (B) 若 m,n 平行于同一平面, 则 m与 n 平行 (C) 若 , 不平行 ,则在内不存在与平行的直线 (D) 若 m,n 不平行 , 则 m与 n 不可能垂直于同一平面 解析 : 若 , 垂直于同一个平面, 则 , 可以都过的同一条垂线, 即 , 可以相交 , 故 2 A错; 若 m,n 平行于同一个平面, 则 m与 n 可能平行 , 也可能相交 ,还可能异面 , 故 B 错; 若 , 不平行 ,则 , 相交 , 设 =l, 在内存在直线a, 使 al, 则 a , 故 C错 ; 从原命题 的逆否命题进行判断, 若 m与 n垂直于同一个平面, 由线面垂直的性质定理知m n, 故 D正确 . 5.(2018 沈阳检测 ) 如图 , 平行四边形ABCD 中,ABBD.沿 BD将 ABD折起 , 使平面 ABD 平 面 BCD,连接 AC,则在四面体ABCD 的四个面所在平面中, 互相垂直的平面的对数为( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析 : 因为平面ABD 平面 BCD,又 AB BD, 所以 AB 平面 BCD,AB ? 平面 ABC, 所以平面ABC 平面 BCD. 同理 , 平面 ACD 平面 ABD. 故四面体ABCD 中互相垂直的平面有3 对. 故选 C. 6.(2018 河北邢台调研) 设 , 是两个不同的平面,l是一条直线 , 给出四个命题: 若 l , , 则 l ? ; 若 l , , 则 l ? ; 若 l , , 则 l ; 若 l , ,则 l . 则正确命题的个数为. 解析 : 错 , 可能有l ; 错 , 可能有l ; 正确 ; 错 , 也可能有l , 或 l ? 或 l 与相交 . 答案 :1 7. 如图所示 , 三棱锥 P ABC的底面在平面上, 且 AC PC,平面 PAC 平面 PBC,P,A,B 是定点 , 则动点 C运动形成的图形是. 解析 : 因为平面PAC 平面 PBC, AC PC,AC ? 平面 PAC,平面 PAC 平面 PBC=PC. 所以 AC 平面 PBC. 又 BC ? 平面 PBC,所以 ACBC,所以 ACB=90 . 所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆 ( 除去 A,B 两点 ). 答案 : 以 AB为直径的圆 ( 除去 A,B 两点 ) 8.(2018 江苏启东中学月考) 如图 , 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C平面 ABCD, 且 AB=BC=CA= ,AD=CD=1. (1) 求证 :BDAA1; 3 (2) 若 E为棱 BC的中点 , 求证 :AE平面 DCC1D1. 证明 :(1) 在四边形ABCD 中 , 因为 AB=BC,AD=DC, 所以 BD AC, 又平面 AA1C1C平面 ABCD, 且平面 AA1C1C平面 ABCD=AC, BD ? 平面 ABCD, 所以 BD 平面 AA1C1C, 又因为 AA1? 平面 AA1C1C,所以 BD AA1. (2) 在三角形ABC中, 因为 AB=AC,且 E为棱 BC的中点 , 所以 AE BC, 又因为在四边形ABCD 中,AB=BC=CA=,AD=CD=1. 所以 ACB=60 , ACD=30 , 所以 DC BC,所以 AE CD. 因为 CD ? 平面 DCC1D1,AE?平面 DCC1D1, 故得 AE 平面 DCC1D1. 9.(2018 甘肃嘉峪关期末) 如图 , 以等腰直角三角形ABC的斜边 BC上的高AD为折痕 , 把 ABD和 ACD 折成互相垂直的两个平面后, 某学生得出下列四个结论: BD AC; BAC是等 边三角形 ;三棱锥D ABC是正三棱锥 ; 平面 ADC 平面 ABC.其中正确的是 ( B ) (A) (B) (C) (D) 解析 : 设等腰直角ABC的腰长为a, 则斜边 BC=a, 因为 D为 BC的中点 , 所以 AD BC, 又平面 ABD 平面 ACD,平面 ABD 平面 ACD=AD,BD AD,BD ? 平面 ABD, 所以 BD 平面 ADC,又 AC? 平面 ADC, 所以 BD AC,故正确 ; 由 A知,BD平面 ADC,CD ? 平面 ADC, 所以 BD CD,又 BD=CD= a, 所以由勾股定理得BC=a=a, 又 AB=AC=a, 所以 ABC是等边三角形, 故正确 ; 因为 ABC是等边三角形,DA=DB=DC, 所以三棱锥D ABC是正三棱锥 , 故正确 . 因为 ADC为等腰直角三角形, 取斜边 AC的中点 F, 则 DF AC,又 ABC为等边三角形 , 连接 BF, 则 BFAC, 4 所以 BFD为平面 ADC 与平面 ABC的二面角的平面角, 由 BD 平面 ADC可知 , BDF为直角 , BFD不是直角 , 故平面 ADC与平面 ABC不垂直 ,故错 误. 综上所述 , 正确的结论是. 故选 B. 10.(2018 宿州市高二期中) 设 m,n 为空间的两条直线, , 为空间的两个平面, 给出下列 命题 : 若 m ,m , 则; 若 m ,m , 则 ; 若 m ,n , 则 m n; 若 m ,n , 则 m n. 上述命题中 , 其中假命题的序号是. 解析 : 若 m ,m , 则与相交或平行都可能, 故不正确 ; 若 m ,m , 则 , 故正确 ; 若 m ,n , 则 m与 n 相交、平行或异面,故不正确 ; 若 m ,n , 由线面垂直的性质定理知m n, 故正确 . 答案 : 11. 如图 1, 在直角梯形ABCD中,AD BC, BAD= ,AB=BC= AD=a,E 是 AD的中点 ,O 是 AC与 BE的交点 . 将 ABE沿 BE折起到图2 中 A1BE的位置 , 得到四棱锥A1BCDE. (1) 证明 :CD平面 A1OC; (2) 当平面 A1BE 平面 BCDE时, 四棱锥 A1BCDE的体积为 36, 求 a 的值 . (1) 证明 : 在题图 1 中, 因为 AB=BC=AD=a,E是 AD的中点 , BAD= ,ADBC,所以 BE AC,BE CD, 即在题图2 中,BEA1O,BEOC, 且 OA1OC=O, 从而 BE 平面 A1OC,又 CD BE,所以 CD 平面 A1OC. (2) 解: 由已知 , 平面 A1BE 平面 BCDE, 且平面 A1BE 平面 BCDE=BE, 又由 (1) 知 A1O BE,所以 A1O 平面 BCDE, 即 A1O是四棱锥A1BCDE 的高 . 由题图 1 知,A1O=AB=a, 平行四边形BCDE的面积 S=BC AB=a 2. 5 从而四棱锥A1BCDE 的体积为V= SA1O= a 2 a=a 3, 由 a 3=36 得 a=6. 12. 如图 , 在四棱锥 P ABCD 中 ,底面 ABCD 是 DAB=60 且边长为a 的菱形 , 侧面 PAD为等边三 角形 , 其所在平面垂直于底面ABCD. (1) 求证 :ADPB; (2) 若 E为 BC的中点 , 能否在棱PC上找到一点F,使平面 DEF 平面 ABCD? 并证明你的结论. (1) 证明 : 设 G为 AD的中点 , 连接 PG,BG. 因为 PAD为等边三角形, 所以 PG AD. 在菱形 ABCD 中, DAB=60 ,G 为 AD的中点 , 所以 BG AD. 又 BG PG=G, 所以 AD 平面 PGB. 因为 PB ? 平面 PGB, 所以 AD PB. (2) 解: 当 F为 PC的中点时 , 满足平面DEF 平面 ABCD. 证明 : 取 PC的中点 F,连接 DE,EF,DF. 则 EFPB,所以可得EF平面 PGB. 在菱形 ABCD 中,GBDE, 所以可得DE 平面 PGB. 而 EF? 平面 DEF,DE ? 平面 DEF,EF DE=E, 所以平面DEF 平面 PGB. 由(1) 得 PG 平面 ABCD, 而 PG ? 平面 PGB, 所以平面PGB 平面 ABCD, 所以平面DEF 平面 ABCD.