1 2.1 从平面向量到空间向量 A. 基础达标 1下列说法正确的是( ) A如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C向量模的大小与方向有关 D向量的模可以比较大小 解析：选 D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确任何两个向量，不论 同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确向量模的大小只与其长度有关，与方向没有 关系，故C不正确由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确 2. 如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB DC ，则下列向量相等的是( ) A.AD 与CB B.OA 与OC C.AC 与DB D.DO 与OB 解析：选 D.因为AB DC ，所以四边形ABCD为平行四边形 所以DO OB ，AD BC ， OA CO . 3在四边形ABCD中，若AB DC ，且 |AC | |BD | ，则四边形ABCD为( ) A菱形B矩形 C正方形D不确定 解析：选 B. 若AB DC ，则ABDC，且ABDC，所以四边形ABCD为平行四边形 又|AC | |BD | ，即ACBD， 所以四边形ABCD为矩形 4下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A平面的法向量垂直于与平面平行的所有向量 B一个平面的所有法向量互相平行 C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D如果a，b与平面平行，则ab 解析：选 D. 依据平面向量的概念可知A，B，C都是正确的由立体几何知识可得a，b 不一定平行 5. 在正四面体A-BCD中，如图，AB ， DA 等于 ( ) A45B60 C90D120 解析：选 D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA 的 起点平移到A点处，再求夹角得AB ，DA 120，故选 D. 6 在正四面体A-BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO， 则AO 是平面BCD的一个 _ 向量 解析：由于A-BCD是正四面体，易知AO平面BCD，所以OA 是平面BCD的一个法向量 答案：法 2 7. 如图在平行六面体AG中，AH 与BG ；AG 与EG ；BH 与DF ； AC 与HF ，四对向量中不是共线向量的序号为_ 解析：因为AH BG ， 所以AH 与BG 共线，其他三对均不共线 答案： 8. 如图，棱长都相等的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1AB 60，则AA1 ，CC1 _； AB ，C 1D1 _； BA ，DD1 _ 解析：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1 CC1 ，且方向相同， 所以AA1 ，CC1 0；因为ABCD，CDC1D1，所以ABC1D1，所 以AB C1D1 ，但方向相反，所以AB ，C1D1 180；因为AA1 DD1 ，所以BA ，DD1 BA ， AA1 180A1AB120. 答案： 0180120 9. 如图所示是棱长为1 的正三棱柱ABC-A1B1C1. (1) 在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出 与向量AB 相等的向量； (2) 在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出 向量AC 的相反向量； (3) 若E是BB1的中点，写出与向量AE 平行的向量 解： (1) 由正三棱柱的结构特征知与AB 相等的向量只有向量A1B1 . (2) 向量AC 的相反向量为CA ， C1A1 . (3) 取AA1的中点F，连接B1F(图略 ) ，则B1F ，FB1 ，EA 都是与 AE 平行的向量 10如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，BAC90，O 是BC的中点，证明：SO 是平面ABC的一个法向量 证明：由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形， 故设SASBSCa， 因为O是BC的中点，SBSC，所以SOBC. 因为BAC90，ABACa，AOBC，所以AO 2 2 a. 又SO 2 2 a，SAa，所以ASO是等腰直角三角形， 即SOOA. 又OABCO，所以SO平面ABC， 所以SO 是平面ABC的一个法向量 B. 能力提升 1空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b| 3，则下列结论正确的是( ) Aab 3 B|a| |b| Ca与b方向相同 D|a| 3 解析：选 D.a与b互为相反向量，即a与b方向相反且 |a| |b|. 2在直三棱柱ABC-ABC中，已知AB5，AC3，BC4，CC 4，则以三棱柱 的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5 的向量的个数为( ) A2 B4 C8 D10 解析：选 C. 向量AB ，AB ，AC ，CA 及它们的相反向量的模都等于5，共有 8 个 3. 如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABC 90，PAAC，则 在向量AB ，BC ， CA ，PA ， PB ，PC 中，夹角为90的共有 _对 解析：因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC，PABC，平面PAB 平面ABC. 又平面PAB平面ABCAB，BCAB，所以BC平面PAB，所以BCPB. 由此知PA ，AB ， PA ，BC ， PA ，CA ， BC ，AB ， BC ，PB 都为 90 . 答案： 5 4下列命题中，真命题有_个 若A，B，C，D是不共线的四点，则AB DC 是四边形 ABCD是平行四边形的充要条件； 向量a，b相等的充要条件是 |a| |b| ， ab； |a| |b| 是向量ab的必要不充分条件 解析：对于，|a| |b| ，ab可知，a和b有可能为相反向量 答案： 2 5. 如图，AB是圆O的直径， 直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个法 向量，M是圆周上异于A，B的任意一点，ANPM，点N是垂足，求证：直线 AN的方向向量是平面PMB的法向量 证明：因为AB是圆O的直径， 所以AMBM. 又PA平面ABM， 所以PABM. 因为PAAMA， 所以BM平面PAM. 又AN平面PAM， 所以BMAN. 又ANPM，且BMPMM， 所以AN平面PBM. 所以直线AN的方向向量是平面PMB的法向量 6( 选做题 ) 如图所示，正四面体A-BCD中，E是AC的中点，求BE 与CD 的夹角的余弦值 解：过E作EFCD交AD于F，连接BF. BEF为向量BE 与CD 的夹角的 补角设正四面体的棱长为1， 则BE 3 2 ，EF 1 2， BF 3 2 . 由余弦定理得 cosBEF |BE| 2| EF| 2| BF| 2 2|BE|EF| 4 3 2 2 1 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 6 . 所以BE 与CD 所成的角的余弦值为 3 6 .