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1 专题 03 集合的基本运算 考点 6 并集及运算 考点 7 交集及运算 考点 8 补集、全集及运算 考点 9 交、并、补集的混合运算 考点 10 venn 图表达集合的关系及运算 考点 11 集合中元素个数 考点 6 并集及运算 考点 6 并集及运算 并集 (1)定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A B (2)并集的符号语言表示为ABx|xA,或xB (3)性质:ABBA,AAA,A?A,ABA ? B A, AAB 【例】 已知A=x|x1,B=x|x 2 2x30,则 AB= Ax|x1 或x1Bx|1x3 Dx|x1 【答案】 D 【解析】A=x|x1,B=x|x 22x30= x| 1x1故选 D 【名师点睛】(1)“ABU”是指所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合注意对概 念中“所有”的理解:不能认为“ABU”是由A中的所有元素和B中的所有元素组成的集合,即简单拼 典型例题 要点阐述 2 凑,要满足集合中元素的互异性,A与B的公共元素只能作并集中的一个元素 (2)解决与不等式有关的集合问题时,常借用数轴求解,要注意端点值能否取到 1满足条件 2 ,4M2,4,6,8的集合M的个数是 A8 B6 C4 D2 【答案】 C 【解析】 2 ,4 M2 ,4,6,8,M中必须含有6,8 M可以是 6 ,8 ,2 ,6,8 ,4 ,6,8 ,2,4,6,8 共 4 个 2集合A0 ,2,a ,B1 ,a 2,若 AB0 ,1,2,4, 16,则a的值为 A0 B1 C2 D4 【答案】 D 【易错易混】并集定义中的“或”与生活用语中的“或”的意义不尽相同在并集的定义中,“xA,或x B”包括三种情况:xA但x?B;xB但x?A;xA且xB用 Venn 图(如下图阴影部分)分别表示为: xA,但xB xB,但xAxA,且xB 3已知集合|1,|2AyyxxBx xR,则下列结论正确的是 A3AB3BCABBDABB 【答案】 C 【解析】 由于11xy,1| yyA,因此ABABBABA,3 ,3故答案为 C 【思路点拨】集合 A的含义是函数的值域,求出值域再判断正误即可 4已知集合1,2|21MNb baaM, ,则MNU A1 B1,2 C1,2,3 D 【答案】 C 小试牛刀 3 5已知集合Ax| 3x4,Bx|x5,则AB Ax|x4Bx|x5 Cx|x4 且x5 Dx|x4 或x5 【答案】 D 【解析】将 3x4 与x5 在数轴上表示出来: 由图可得ABx|x4 或x5 【解题技巧】欲求AB,只需将A,B用数轴表示出来,取它们所有元素构成的集合,即得AB 6已知集合RxxxM, 02|,RxxyyN,1| 2 ,则MN等于 Ax|x1Bx|1 x2 Dx|x2 或x0 【答案】 A 【解析】因为2|02|xxxxM,1|, 1| 2 yyRxxyyN,所以M N1| xx 7已知Ax| 2xa1 ,Bx|xa或x2a ,ABR,求实数a的取值范围 【解析】 本题给出了两个待定的集合,且已知ABR,结合数轴表示可求出参数a的取值范围 如图所示, 因为ABR,所以应满足 a 2, 2aa1, 解得 a2, a 1 2, 所以 1 2a2故答案为: a 1 2 a2 1设集合M x|x 2 x,Nx|lgx0,则MN A0,1 B(0,1 C0,1) D( ,1 考题速递 4 【答案】 A 【解析】由题意得M 0,1,N(0,1,故MN0,1,故选 A 2已知集合Ax| 1x2,Bx|0x2,Bx|x2,选项 D符合 4设集合M x| 2x5,Nx|2 tx2t1,tR,若MNM,求实数t的取值范围 【答案】 t|t2 【解析】由MNM,可得N?M 当N ?时, 2t12t,解得t 1 3,满足题意 当N ?时,由 221, 215, 22 tt t t ,解得 1 3t 2 综上可知,实数t的取值范围是 t|t2 人之“常情” 喜、怒、哀、乐的并集是人常见的四种表情 数学文化 5 6 考点 7 交集及运算 交集 (1)定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记 作A?B;( 2)交集的符号语言表示为ABx|xA,且xB; (3)性质:ABBA,AAA,A?,ABA? AB ,ABAB,ABA,ABB 【例】 已知集合A=1,3,5, 7,B=2,3,4,5,则AB= A3 B5 C3 ,5 D1 ,2,3,4,5,7 【答案】 C 【解析】集合A=1,3,5, 7 ,B=2,3,4,5 ,AB=3 ,5 故选 C 【名师点睛】 “ABI”是指属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合注意对概念中“且”的理解: 不能仅认为ABI中的任意元素都是A和B的公共元素, 它同时还表示集合A与B的公共元素都属于ABI, 而且并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A和集合B没有公共元素时,=ABI 1设集合 123A, , ,集合 2 2B, ,则 ABI A3 ,2 B2 C 2,2 D 2, 1,2,3 2已知集合 101A, , ,| 11Bxx,,则 ABI A 0B 1 0,C 0 1,D 101, 【答案】 B 【解析】根据两集合交集的定义求解 101A, , ,| 11Bxx,,且1B, 10ABI, 【方法技巧】求两个集合的交集,关键在于弄清两个集合由哪些元素构成,因而有时需要对集合进行转化, 或具体化、形象化,若一个集合元素的特征由不等式给出,利用数轴就能使问题直观形象起来 小试牛刀 典型例题 要点阐述 7 3若集合A x|x| 1,Bx|x0,则AB Ax| 1x1Bx|x0 Cx|0 x1Dx| 1x0 【答案】 C 【解题技巧】利用数轴寻找集合A与B的公共部分,即为AB 4已知集合A(x,y)|y2x1 ,Bx|yx 1,则AB A 2 B ( 2, 3) C?D 3 【答案】 C 【解析】由于A是点集,B是数集,AB? 【概念辨析】(1)概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元 素 (2)定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素,不能是一部分公共元素 (3)定义中“xA且xB”与“xABI”是等价的,即由既属于A又属于B的元素组成的集合为 ABI,而只属于集合A或只属于集合B的元素不属于ABI 5设集合1,2,3 ,|23PQxx,则下列结论正确的是 APQBPQPI CPQPIDPQQI 【答案】 C 【解析】由题意,得3, 2QP,则PQPI 6已知集合1,2,3,4A, 2, Bx xnnA,则ABI A1,4B2,3 C9,16D1,2 【答案】 A 8 【解析】先求集合B,再进行交集运算 1,2,3,4AQ, 2, Bx xnnA,1,4,9,16B,1,4ABI 7设方程x 2px120 的解集为 A,方程x 2qx r0 的解集为B,且AB,AB 3,4 ,AB 3 ,求p,q,r的值 1设集合A 1,3,5,7,Bx|2 x5,则AB A1,3 B3,5 C5,7 D1,7 【答案】 B 【解析】由A1,3,5,7,B x|2 x5,得AB3,5 故选 B 2已知集合A1,2,3,Bx|x 29 ,则AB A 2,1,0,1,2,3 B 2,1,0,1,2 C1,2,3 D1,2 【答案】 D 【解析】由x 29 解得 3x3, Bx| 3x3,又因为A1,2,3,所以AB 1,2 故选 D 【易错易混】一元二次不等式x 29 的解容易求错,有些同学不理解,直接开方 3已知集合Ax|2x4,Bx|x5,则AB Ax|2x5 Bx|x5 Cx|2x3 Dx|x5 【答案】 C 【解析】由题意,得ABx|2x4x|x5 x|2x3 考题速递 9 4已知集合Ax|2x4,Bx|(x1)(x3)0,则AB A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4) 【答案】 C 交汇 铁路轨道交汇处是两轨道的交集。 数学文化 10 考点 8 补集、全集及运算 1全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U 2补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补 集,记作 UA e补集的符号语言表示为UAx|xU,且x?A 3补集与全集的性质: (1) UU?;( 2)U?U;( 3)U(UA)A; (4)A(UA)U;( 5)A(UA) ? 【例】 已知全集U=R,集合A=x| 3x3,则 ?UA= A( 3,3)B 3,3 C(,3)( 3,+)D(,3 3 ,+) 【解题必备】 |, U Ax xUxA且e 全集与补集的性质:一个集合与其补集的并集是全集,即()= U AAUU e;一个集合与其补集的交集是空 集,即()= U AAIe;一个集合的补集的补集是其本身,即()= UU AA痧;空集的补集是全集,即= U Ue; 全集的补集是空集,即= UU e若AB,则 ()() UU AB痧;反之,若()() UU AB痧,则BA; 若=A B,则= UUAB痧;反之,若=UUAB痧,则=A B;德 ? 摩根定律:并集的补集等于补集的交集,即 ()=()() UUU ABABUI痧?;交集的补集等于补集的并集,即()=()() UUU ABABIU痧? 1如 图 是 一 个 结 构 图 , 在 框 中 应 填 入 小试牛刀 典型例题 要点阐述 11 A空集B补集C子集D全集 【答案】 B 2设全集1,2,3,4,5U,集合1,2A,则UA= A1,2B3,4,5C1,2,3,4,5D 【答案】 B 【解析】根据补集的定义计算, 1,2,3,4,5UQ,1,2A, UA=3,4,5 【概念辨析】(1)补集是相对于全集而存在的,研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集比 如,当研究数的运算性质时,我们常常将实数集R 当作全集,而在数论的研究中,我们往往将整数集当作 全集 (2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算,当然也是一种数学思想 (3)从符号的角度来看,若xU,则xA和xeUA二者必居其一 3若全集 0,1,2,3U 且 2 U Ae ,则集合A的真子集共有 A3个B5个C7个D8个 【答案】 C 【解析】0,1,3A,真子集有 3 217 4已知全集U0,1,2,且 ?UA2 ,则A A0 B1 C?D0,1 【答案】 D 【解析】 ?UA2 , 2?A,又U0,1,2,A0,1 【解题技巧】根据补集的定义,在全集U中去掉集合UA中的元素,即可得到集合A 5设全集U=R,集合P=x| 2x3,则 ?UP= Ax|x2 或x3Bx|x3 12 Cx|x 2 或x3 Dx|x 2 或x3 【答案】 A 【解析】在数轴上表示出集合P,如图, 所以 U eP=x|x2 或x 3 6若 全 集U= 1, 0, 1, 2 ,P=xZ|x 22 , 则 集 合 P关 于 全 集U的 补 集 是 A2 B0 ,2 C 1,2 D 1, 0,2 【答案】 A 【解析】全 集U= 1, 0, 1, 2 ,P=xZ|x 22= 1, 0, 1 , ?UP=2 【易错易混】集合P是 不 等 式x 2 2 的 整 数 解 集 7设全集U a 22, 2,1 ,Aa,1,求 ?UA 1已知全集U1,2,3,4,5,6,7,集合A1,3,5,6,则?UA 【答案】 C 【解析】由题意知?UA2,4,7,选 C 2已知全集U1,2,3,4,5,集合A1,2
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