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1 第四章导数应用 ( 时间: 100 分钟,满分:120 分) 一、选择题 ( 本大题共10 小题,每小题4 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1使函数f(x)x2cos x在0 , 2 上取最大值的x为( ) A0 B. 4 C. 3 D. 2 解析: 选 B.f(x) 12sin x,f(x) 在0 , 4 上单调递增, 4 , 2 上单调递减, 选 B. 2定义在R 上的函数f(x) 的图像如图所示,则关于x的不等式xf(x)0,又xf(x)0, x( , 1) 当x( 1,1)时,f(x)0 , 又xf(x)0 , x(0 ,1) 综上可知解集为( , 1)(0, 1)故选 C. 3函数f(x) xax在x1 , 4 上单调递减,则实数a的最小值为 ( ) A1 B2 C3 D4 解析:选D.依题意得,当x1 , 4 时,f(x) 1 a 2x 0,即a2x恒成立注 意到x1 , 4 时,y2x的最大值是244,因此,实数a的最小值为4,选 D. 4.f(x) 是f(x) 的导函数,若f(x) 的图像如图所示,则f(x) 的图像可能是( ) 解析:选 C.由导函数的图像可知,当x0 , 即函数f(x) 为增函数;当 0xx1 时,f(x)x1时,f(x)0,即函数f(x) 为增函数观察 2 选项易知C正确 5函数f(x) x 33ax a在(0 , 1)内有最小值,则a的取值范围为 ( ) A0a1 B0a1 C 1a1 D0a0 时,令f(x)0 得xa( 舍) ,xa,由题意知0a1. 0a1 时,f(x)0;在x1 附近的左侧,f(x)0 ,所以f(1) 是极小值 7 已知函数f(x) x 3ax24在 x 2处取得极值, 若m,n 1, 1 , 则f(m) f(n) 的最小值为 ( ) A 13 B 15 C10 D15 解析:选A.f(x) 3x 22ax,由题意 f(2) 124a0,a3. f(x) 3x 26x,其对称轴 x1,开口向下,当n 1,1 时, f(n)最小f( 1) 9, 令f(x) 3x(x2) 0,则x0 或x2, 当x( 1,0)时,f(x)0 , 当m 1,1 时,f(m)最小f(0) 4, 故f(m) f(n) 的最小值为13. 8如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( ) A( l 6) 3 B( l 3) 3 C( l 4) 3 D. 1 4( l 4) 3 解析:选 A.设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则 4r2hl,hl 4r 2 ,V r 2hl 2r 22 r 3(0 r0, r l 6是其唯一的极值点当 r l 6时, V取得最大值,最大值为( l 6) 3,故选 A. 9. 函数f(x) ax m (1 x) n 在区间 0 ,1 上的图像如图所示,则m,n的值可能是 ( ) Am1,n 1 Bm1,n 2 3 Cm2,n 1 Dm3,n 1 解析:选 B. 观察图像易知,a0,f(x) 在0 ,1 上先增后减,但在0,1 2 上有增有减且 不对称 对于选项 A,m1,n1 时,f(x) ax(1x) 是二次函数,图像应关于直线x1 2对称, 不符合题意 对于选项 B,m1,n2 时,f(x) ax(1 x) 2 a(x 32x2 x) ,f(x) a(3x 24x 1)a(x1)(3x 1), 令f(x) 0,得x1 或x 1 3, f(x) 在 0, 1 3 上单调递增,符合题意 对于选项 C,m2,n1 时,f(x) ax 2(1 x)a(x 2 x 3) ,f (x) a(2x3x 2) ax(2 3x) , 令f(x) 0,得 0 x2 3, f(x) 在 0, 2 3 上单调递增,不符合题意 对于选项 D,m3,n1 时,f(x) ax 3(1 x) a(x 3x4) , f(x) a(3x 24x3) ax 2(3 4x) , 令f(x) 0,得 0 x3 4, f(x) 在 0, 3 4 上单调递增,不符合题意 10已知函数f(x) |xe x| ,关于 x 的方程 f2(x) tf(x) 10(t R) 有四个不等实数 根,则t的取值范围为 ( ) A( e 2 1 e , ) B(2 , e 21 e ) C( e 21 e , 2) D( , e 2 1 e ) 解析:选 D.设g(x) xe x,g ( x) e x(1 x) ,当x 1 时,g(x)0 ,g(x) 单调递增, 当x1 时,g(x)0 ,g(x) 单调递减,且x,g(x) 0. g(x)最小g( 1) 1 e,g(0) 0, f(x)|xe x| 的图像如图, 由题意知,f(x) 有两个不等正值使方程成立设为a,b(a 1 e. 由根与系数的关系 t 240 tab0 1ab , 4 taba 1 a在 (0, 1 e) 递减, a1 ae 1 e,故 t(e 1 e) ,即 t的取值范围为 ( , e 21 e ) 所以选D. 二、填空题 ( 本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分把答案填在题中横线上) 11 两车在十字路口相遇后,又沿不同方向继续行驶,已知A车向北行驶速度为30 km/h, B车向东行驶速度为40 km/h ,那么A、B两车间直线距离的增加速度是_ km/h. 解 析 :设A、B两车 的行 驶 时间 为t小时 ,则A、B两 车间 的直 线距 离s (30t) 2 ( 40t) 250t (km) s(t) 50,A、B两车间直线距离的增加速度为50km/h. 答案: 50 12一个边长为12 cm的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形,然 后做成一个无盖方盒,要使方盒的容积最大,x的值应为 _ 解析:V4x(6x) 24( x 312x236x)(0 x0) ,令f(x)0 得, 0x0,a0) 在x3 时取得最小值,则a_ 解析:f(x) 4x a x2 4xa x4 a(x0,a0) ,当且仅当4xa x,即 x a 2 时等号 成立,此时f(x) 取得最小值4a. 又由已知x3 时,f(x)min4a, a 2 3,即a36. 5 答案: 36 三、解答题 ( 本大题共5 小题,共 55 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16(本小题满分10 分) 已知f(x) ax 3 bx 2 c的图像经过点 (0 ,1),且在x1 处的 切线方程是yx. (1) 求yf(x) 的解析式; (2) 求yf(x) 的单调递增区间 解: (1)f(x) ax 3 bx 2 c的图像经过点 (0 ,1) ,则c1, f(x) 3ax 22bx, f(1) 3a2b1. 切点为 (1 ,1) ,则f(x) ax 3 bx 2c 的图像经过点 (1 ,1), 所以abc1 解得a1,b 1 即f(x) x 3 x 21. (2)f(x) 3x 22x0 得 x 2 3. 单调递增区间为( , 0),( 2 3, ) 17 ( 本小题满分10 分) 已知函数f(x) ax 3( a1)x 227( a2)xb的图像关于原点 成中心对称,求f(x) 在区间 4,5 上的最值 解:函数f(x) 的图像关于原点成中心对称,则f(x) 是奇函数,所以a 1,b0. 于是f(x) x 327x, f(x) 3x 227. 当x( 3,3) 时,f(x)0. 又函数f(x) 在 4,5 上是连续函数 f(x) 在( 3,3) 上是单调递减函数,在( 4, 3)和(3 ,5) 上是单调递增函数 f(x) 的最大值是f( 3) 54,f(x) 的最小值是f(3) 54. 18 ( 本小题满分10 分) 已知函数f(x) x1ln x对任意x(0,) ,f(x) 2bx 恒成立,求实数b的取值范围 解:依题意对任意x(0, ) ,f(x) 2bx恒成立 等价于x1ln x2bx在 (0 , ) 上恒成立 可得b1 1 x ln x x 在(0, ) 上恒成立, 令g(x) 1 1 x ln x x , g(x) ln x2 x 2, 令g(x) 0,得x e 2. 列表如下: x (0 ,e 2) e 2 (e 2,) g(x)0 g(x)1 1 e 2 函数yg(x)的最小值为g(e 2) 11 e 2, 根据题意b的取值范围为 b|b1 1 e 2 19(本小题满分12 分) 已知函数f(x) x 2ex. (1) 求f(x) 的极小值和极大值; (2) 当曲线yf(x) 的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围 解: (1)f(x) 的定义域为 (, ) , f(x) e xx( x2) 当x( , 0)或x(2, ) 时,f(x) 0; 当x(0, 2) 时,f(x) 0. 所以f(x) 在 ( , 0) ,(2 , ) 上单调递减,在(0,2) 上单调递增 6 故当x0 时,f(x)取得极小值,极小值为f(0) 0;当x2 时,f(x) 取得极大值,极 大值为f(2) 4e 2. (2) 设切点为 (t,f(t) ,则l的方程为yf(t)(xt) f(t) 所以l在x轴上的截距为 m(t) t f(t) f(t) t t t2 t2 2 t2 3. 由已知和得t( , 0) (2, ) 令h(x) x 2 x( x0), 则当x(0, ) 时,h(x) 的取值范围为 22, ) ;当x( , 2) 时,h(x) 的取值范围是 ( , 3) 所以当t( , 0) (2, ) 时,m(t) 的取值范围是 ( , 0) 22 3, ) 综上,l在x轴上的截距的取值范围是( , 0) 223, ) 20(本小题满分13 分) 已知函数f(x) e x, xR. (1) 若直线ykx1 与f(x) 的反函数的图像相切,求实数k的值; (2) 设x0,讨论曲线yf(x) 与曲线ymx 2( m0)公共点的个数 解: (1)f(x) 的反函数为g(x) ln x设直线ykx 1 与g(x) ln x的图像在P(x0, y0) 处相切,则有y0kx01ln x0,kg(x0) 1 x0,解得 x0e 2, ke 2,所以 ke 2. (2) 当x0,m0 时,曲线yf(x) 与曲线ymx 2( m0)的公共点个数即方程f(x) mx 2 根的个数 由f(x) mx 2? m e x x 2,令(x) e x x 2? (x) xe x(x2) x 4, 则(x) 在(0 ,2) 上单调递减,这时(x) (2) , ) ; (2) 是y(x) 的极小值,也是最小值 所以对曲线yf(x) 与曲线ymx 2( m0)公共点的个数,讨论如下: 当m 0, e 2 4 时,有 0 个公共点; 当me 2 4 时,有 1 个公共点; 当m e 2 4 , 时有 2 个公共点 综上所述,当x0 时,若 0me 2 4 ,曲线yf(x) 与ymx 2 有两个公共点
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