1 第四讲 数学归纳法证明不等式 复习课 整合网络构建 警示易错提醒 1数学归纳法的两个关注点 (1) 关注用数学归纳法证题的步骤第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步 称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证两步缺一不可，否则不能保证结论成立 (2) 关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正 整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法 2数学归纳法的两个易错点 (1) 在数学归纳法中，没有应用归纳假设 (2) 归纳推理不到位 专题一数学归纳法 在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步 骤情况较复杂 因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一 个独立的证明问题，归纳假设“P(k) ”是问题的条件，而命题P(k1) 成立就是所要证明的 结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 例? 设 0a1，定义a11a，an1 1 an a，求证：对一切正整数n，有 1an 1 1a. 证明： (1) 当n1 时，a11，a11a 1 1a，命题成立 (2) 假设nk(kN *) 时，命题成立即 1ak 1 1a， 2 当nk1 时，由递推公式，知ak1 1 ak a (1 a) a1. 同时，ak 1 1 ak a1a1 a 2 1a 1 1a， 故当nk 1 时，命题也成立，即1ak1 1 1a， 综合 (1)(2)可知，对一切正整数n，有 1an 1 1a. 归纳升华 用数学归纳法证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由nk 成立，推导nk 1 也成立时， 其他证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、 放缩法、 分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题 变式训练 证明不等式 1 2 2 1 3 2 1 n 21(n2，nN * ) 证明： 先证明 1 2 2 1 3 2 1 n 21 1 n( n2) ，(*) 对(*) 运用数学归纳法证明： (1) 当n2 时， (*) 显然成立 (2) 设nk时，不等式 (*) 成立， 则 1 2 2 1 3 2 1 k 211 k. 当nk1 时， 1 2 2 1 3 2 1 k 2 1 （k1） 21 1 k 1 （k1） 2 1 1 k 1 k（k1） 1 1 k 1 k 1 k 1 1 1 k1. 故当nk 1 时，不等式 (*) 成立 根据 (1) 和(2) 知，对nN * 且n2，不等式 (*) 成立，故原不等式成立. 专题二归纳、猜想、证明思想的应用 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结 论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持 猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写 例 2 数列 an满足Sn2nan. (1) 计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2) 用数学归纳法证明(1) 的猜想 (1) 解： 当n1 时，a1S12a1， 所以a11. 3 当n2 时，a1a2S222a2， 所以a23 2. 当n3 时，a1a2a3S323a3， 所以a37 4. 当n4 时，a1a2a3a4S424a4， 所以a415 8 . 由此猜想an 2 n 1 2 n1(nN *) (2) 证明： 当n1 时，a11，结论成立 假设当nk(k1 且kN) 时，结论成立， 即ak 2 k1 2 k 1. 当nk1 时，ak 1Sk1Sk2(k1)ak 1 2kak2akak 1， 即ak12akak1， 所以ak1 2ak 2 2 2 k1 2 k1 2 2 k11 2 k， 这表明当nk1 时，结论成立 由知猜想的通项公式an 2 n 1 2 n1成立 归纳升华 归纳猜想证明的三步曲 (1) 计算：根据条件，计算若干项 (2) 归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论 (3) 证明：用数学归纳法证明 变式训练 “设f(n)1 1 2 1 3 1 n( nN)，有f(1) 11 2， f(3) 1，f(7) 3 2， f(15) 2，” 试问：f(2 n1) 与n 2大小关系如何？试猜想并加以证明 解： 数列 1，3，7，15，通项公式为an2 n1，数列1 2，1， 3 2，2，通项公式为 ann 2， 所以猜想：f(2 n1) n 2. 4 下面用数学归纳法证明： (1) 当n1 时，f(2 11) f (1) 11 2，不等式成立 (2) 假设当nk(k1，kN) 时不等式成立， 即f(2 k1) k 2. 当nk1 时， f(2 k1 1) f(2 k1) 1 2 k 1 2 k1 1 2 k12 1 2 k11 f(2 k1) 1 2 k 1 1 2 k1,2 k 个f(2 k1) 1 2 k 2 1 2 k1 2 . 所以当nk1 时不等式也成立 据(1)(2)知对任何nN原不等式均成立 专题三转化和化归思想 把所要证的平面几何问题转化，运用数学归纳法来解决，这体现了转化和化归的思想一 般将待解决的平面几何问题进行转化，使之化为我们熟悉的或容易解决的问题 例 3 设平面内有n条直线， 这n条直线把平面分成互不垂叠的区域个数的最 大值为f(n) ，求f(n) 的解析式，并用数学归纳法证明 解： 设平面内k(k1)条直线把平面分成区域个数的最大值为f(k) ，则第k1 条直线与前k条直线最多有k个交点， 因此第k1 条直线最多可以被分成k1 段，每一段 可把所在的区域分为两部分，所以比原来的区域增加k 1 个，即有f(k1)f(k) k 1， 所以f(k1) f(k) k1. 于是f(2) f(1) 2，f(3) f(2) 3，f(n) f(n1) n. 把以上n1 个等式相加得f(n) f(1) 23n. 因为f(1) 2， 所以f(n) f(1) (2 3n) 1 2( n 2 n2) 下面用数学归纳法证明： (1)n1 时，一条直线可以把平面分成2 个， 即f(1) 2，而 1 2( n 2 n2) 1 2(1 12) 2， 所以命题成立 (2) 假设nk时，f(k) 1 2( k 2 k2)成立， 当nk1 时，f(k1) f(k) (k 1) 1 2( k 2 k2) (k1) 1 2( k 22k1k 3) 5 1 2( k1) 2( k1) 2 ，所以命题仍成立 由(1)(2)知，当nN * 时，f(n) 1 2( n 2 n2) 成立 归纳升华 有关几何图形的性质、公式等与自然数n有关的命题， 主要是抓住递推关系，明确要证 明的表达式，然后转化用数学归纳法进行证明 变式训练 用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式a n b n 都能被ab整除 证明： (1) 当n1 时，a nbna b能被ab整除 (2) 假设当nk(kN，k 1) 时，a k b k 能被ab整除，那么当nk1 时，a k1 b k 1 a k1 a kb a k bb k1ak( ab) b(a k b k) 因为 (ab) 和a kbk 都能被ab整除， 所以上面的和a k( ab) b(a k b k) 也能被 ab整除 这也就是说当nk1 时，a k 1bk 1 能被ab整除 根据 (1)(2)可知对一切正整数n，a n b n 都能被ab整除