1 2.1.3 两条直线的平行与垂直 学业水平训练 1 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程 2k 2 3k b 0的两根，若l1l2， 则b_ ； 若l1l2，则b_. 解析：l1l2时，k1k2 1，由一元二次方程根与系数的关系得k1k2 b 2， b 2 1，得 b2. l1l2时，k1k2，即关于k的二次方程2k 23kb0 有两个相等的实根， ( 3) 242( b) 0， 即b 9 8. 答案： 2 9 8 2 设aR， 如果直线l1：ax2y10 与直线l2：x(a1)y4 0平行，那么a _. 解析：当a0 时，l1：y 1 2， l2：xy4 0，这两条直线不平行；当a 1 时，l1：x 2y 10，l2：x40，这两条直线不平行；当a0 且a 1 时，l1：y a 2x 1 2， l2： y 1 a1x 4 a1，由 l1l2得 a 2 1 a1且 1 2 4 a1，解得 a 2 或a1. 答案： 2 或 1 3. 如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A( 1,1) ，B(1,5) ，C( 3,2) ， 则ABC的形状为 _ 解析：因为kAB 15 11 4 22， kAC 1 2 13 1 2，所以 kABkAC 1，且A、B、C、D4 点不共点，所以ABAC，即BAC90. 所以ABC 是直角三角形 答案：直角三角形 4已知A( 4,2) ，B(6， 4) ，C(12,6) ，D(2,12) ，则下面四个结论：ABCD；AB CD；ACBD；ACBD，其中正确的序号为_ 解析：kAB 42 64 3 5， kCD 126 212 3 5，且 A、B、C、D4 点不共线，所以ABCD， kAC 62 124 1 4， kBD12 4 26 4， kBDkAC 1，所以ACBD. 答案： 5已知P( 2，m) ，Q(m,4) ，M(m2,3) ，N(1,1) ，若直线PQ直线MN，则m_. 解析：当m 2 时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不 合题意； 当m 1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m 2且m 1 时，kPQ 4m m2 4m m2， kMN 31 m21 2 m 1，因为直线 PQ直线MN， 所以kPQkMN， 即4 m m2 2 m 1，解得 m0 或m1. 经检验m0 或m1 时直线MN，PQ都不重合综上，m 2 的值为 0 或 1. 答案： 0 或 1 6已知两条直线ax4y20 与直线 2x5yc0 互相垂直，垂足为(1 ，b) ，则ac b_. 解析：k1k2 1，a 10. 垂足 (1 ，b) 在直线 10 x4y20 上，b 2. 将(1 ， 2)代入 2x5yc0 得c 12，故acb0. 答案： 0 7(1) 求与直线y 2x10 平行，且在x轴、y轴上的截距之和为12 的直线的方程； (2) 求过点A(1 ， 4)且与直线2x3y50 平行的直线的方程 解：(1) 设所求直线的方程为y 2x，则它在y轴上的截距为，在x轴上的截距为 1 2 ，则有 1 212， 8. 故所求直线的方程为y 2x8，即 2xy80. (2) 法一：由直线方程2x3y50 得直线的斜率是 2 3， 所求直线与已知直线平行， 所求直线的斜率也是 2 3. 根据点斜式，得所求直线的方程是y 4 2 3( x1)， 即 2x3y10 0. 法二：设所求直线的方程为2x 3yb0， 直线过点A(1 ， 4) ， 213( 4) b0，解得b10. 故所求直线的方程是2x3y100. 8已知在 ?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4) (1) 求点D的坐标； (2) 试判断 ?ABCD是否为菱形？ 解： (1) 设D(a，b) ，由 ?ABCD，得kABkCD，kADkBC， 即 02 51 b 4 a 3， b2 a1 4 0 3 5， 解得 a 1， b6， D( 1,6) (2) kAC 42 311， kBD 60 15 1， kACkBD 1， ACBD. ?ABCD为菱形 高考水平训练 1已知A(1 ， 1) ，B(2,2)，C(3,0)三点，若存在点D，使CDAB，且BCAD，则点D的 坐标为 _ 解析：设点D的坐标为 (x，y) 因为kAB 21 21 3，kCD y x3， 且CDAB，所以kABkCD 1， 3 即 3 y x3 1. 因为kBC 20 23 2，kADy 1 x 1， 且BCAD，所以kBCkAD， 即 2 y1 x1， 由得x0，y1，所以点D的坐标为 (0,1) 答案： (0,1) 2 ABC的顶点A(5， 1) ，B(1,1) ，C(2，m) ， 若ABC为直角三角形， 则m的值为 _ 解析：若A为直角，则ACAB，所以kACkAB 1，即 m1 25 11 15 1，得 m 7； 若B为直角，则ABBC， 所以kABkBC 1，即 11 15 m1 21 1，得 m3； 若C为直角，则ACBC，所以kACkBC 1，即 m1 25 m1 21 1，得 m2. 综上可知，m 7 或m3 或m2. 答案： 7 或2 或 3 3已知A( m3,2) ，B( 2m4,4) ，C( m，m) ，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值 解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行因为ABCD，所以CD与x轴不垂 直，故m 3. 当AB与x轴垂直时，m3 2m4，解得m 1，而m 1 时，C，D纵坐标均为1， 所以CDx轴，此时ABCD，满足题意 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得 kAB 4 2 2m4m3 2 m1 ， kCD 3m2m 3m 2m1 m3 . 因为ABCD，所以kABkCD 1， 解得m 1. 综上，m的值为 1 或 1. 4在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0) ，P(1 ，t) ，Q(1 2t,2t) ，R( 2t,2) ，其中t0. 试判断四边形OPQR的形状 解：如图所示，由已知两个点的坐标得： kOP t0 10 t， kRQ 2t2 12t2t t， kOR 20 2t0 1 t . kPQ t2t 112t 1 t ， 所以kOPkRQ，kORkPQ， 所以OPRQ，ORPQ， 4 所以四边形OPQR是平行四边形； 又kOPkORt( 1 t ) 1， 所以OPOR，POR是直角， 所以四边形OPQR是矩形； 过点P作PAx轴，垂足为A， RBx轴，垂足为B，那么由勾股定理得： OP 2 OA 2 AP 21 t 2. OP1t 2， OR 2 OB 2 BR 2( 2t ) 222 4(1 t 2) ， OR21t 2. OPOR， 所以四边形OPQR不是正方形， 综上可知，四边形OPQR是矩形