,第二十一章 一元二次方程 211 一元二次方程,通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax2bxc0(a0)，分清二次项及其 系数、一次项及其系数与常数项等概念 了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解,重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax2bxc0(a0)和一元二次方程的解等 概念，并能用这些概念解决简单问题 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别,活动 1 复习旧知 什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式,1,x,2,1,(1)2x1 (2)mxn0 (3) 10 (4)x 1,3下列哪个实数是方程 2x13 的解？并给出方程的解的概念 A0 B1 C2 D3 活动 2 探究新知 根据题意列方程 1教材第 2 页 问题 1. 提出问题： 正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ 本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程 2教材第 2 页 问题 2. 提出问题： 本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ 比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有 5 个队参赛，每个队比赛几场？一共有 20 场比赛 吗？如果不是 20 场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有 x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3一个数比另一个数大 3，且两个数之积为 0，求这两个数 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4一个正方形的面积的 2 倍等于 25，这个正方形的边长是多少？ 活动 3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？,(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？ (3)归纳一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程， 叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是 ax2bxc0(a0)，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项 提出问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？ (2)为什么要限制 a0，b，c 可以为 0 吗？ (3)2x2x10 的一次项系数是 1 吗？为什么？ 3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根) 活动 4 例题与练习 例 1 在下列方程中，属于一元二次方程的是 ,22,2,11,xx,(1)4x 81；(2)2x 13y；(3) 2；,2,(4)2x22x(x7)0. 总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数 的项的最高次数是 2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为 0，这样的方程不是一元二 次方程 例 2 教材第 3 页 例题 例 3 以2 为根的一元二次方程是( ) Ax22x10 Bx2x20 Cx2x20 Dx2x20 总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等 练习： 若(a1)x23ax10 是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围是 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)4x281；(2)(3x2)(x1)8x3. 教材第 4 页 练习第 2 题 若4 是关于x 的一元二次方程 2x27xk0 的一个根，则k 的值为 答案：1.a1；2.略；3.略；4.k4. 活动 5 课堂小结与作业布置 课堂小结 我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能 解一元二次方程吗？ 作业布置 教材第 4 页 习题 21.1 第 17 题.,21.2 解一元二次方程 212.1 配方法(3 课时) 第 1 课时 直接开平方法,理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2c0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到 解 a(exf)2c0 型的一元二次方程,重点 运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程，领会降次转化的数学思想 难点 通过根据平方根的意义解形如 x2n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0) 的方程,一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1：填空 (1)x2 8x (x )2 ；(2)9x2 12x (3x )2 ；(3)x2 px (x )2.,p 2 p,22,解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)( ) .,问题 2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？ 二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知 上面我们已经讲了x29，根据平方根的意义，直接开平方得x3，如果x 换元为 2t1，即(2t1)2 9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把 2t1 变为上面的x，那么 2t13 即 2t13，2t13 方程的两根为t11，t22 例 1 解方程：(1)x24x41 (2)x26x92 分析：(1)x24x4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x2)21. (2)由已知，得：(x3)22 直接开平方，得：x3 2 即 x3 2，x3 2 所以，方程的两根x13 2，x23 2 解：略 例 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10 m2 提高到 14.4 m2，求每年人均住房面积增长率,3,分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是 1010 x10(1x)；二年后人均 住房面积就应该是 10(1x)10(1x)x10(1x)2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10(1x)214.4 (1x)21.44 直接开平方，得 1x1.2 即 1x1.2，1x1.2 所以，方程的两根是x10.220%，x22.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x22.2 应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%. (学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思 想” 三、巩固练习 教材第 6 页 练习 四、课堂小结 本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2p(p0)的方程，那么 x p转化为应用直接开平方法 解形如(mxn)2p(p0)的方程，那么 mxn p，达到降次转化之目的若p0 则方程无解 五、作业布置 教材第 16 页 复习巩固 1. 第 2 课时 配方法的基本形式,理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题 通过复习可直接化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面,两种形式的一元二次方程的解题步骤,重点 讲清直接降次有困难，如x26x160 的一元二次方程的解题步骤 难点 将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧,4,一、复习引入 (学生活动)请同学们解下列方程： (1)3x215 (2)4(x1)290 (3)4x216x169 (4)4x216x7 老师点评：上面的方程都能化成x2p 或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得,x p 或 mxn p(p0) 如：4x216x16(2x4)2，你能把 4x216x7 化成(2x4)29 吗？ 二、探索新知 列出下面问题的方程并回答： (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？ 问题：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m2，求场地的长和宽各是多少？ (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x 的完全平方式而 后二个不具有此特征 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就 来讲如何转化： x26x160 移项x26x16 两边加(6/2)2 使左边配成x22bxb2 的形式x26x32169 左边写成平方形式(x3)225 降次x35 即x35 或x35 解一次方程x12，x28 可以验证：x12，x28 都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为 2 m，长为 8 m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 例 1 用配方法解下列关于x 的方程：,22,1,2,(1)x 8x10 (2)x 2x 0,三、巩固练习 教材第 9 页 练习 1，2.(1)(2) 四、课堂小结 本 节课应掌握： 左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以 直接降次解方程的方程 五、作业 教材第 17 页 复习巩固 2，3.(1)(2) 第 3 课时 配方法的灵活运用 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目,重点 讲清配方法的解题步骤 难点 对于用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一 次项系数一半的平方；对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，要先化二次项系数为 1，再用配方法求解,5,一、复习引入 (学生活动)解下列方程：,(1)x24x70 (2)2x28x10 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以 直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题 解：略 (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知 讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为 1； (3)常数项移到右边； 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； 变形为(xp)2q 的形式，如果q0，方程的根是xp q；如果q0，方程无实根 例 1 解下列方程： (1)2x213x (2)3x26x40 (3)(1x)22(1x)40 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全 平方式 解：略 三、巩固练习 教材第 9 页 练习 2.(3)(4)(5)(6) 四、课堂小结 本 节课应掌握： 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤 配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方 ，利用非负数的性质判断代数式的正负性在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到 五、作业布置 教材第 17 页 复习巩固 3.(3)(4) 补充：(1)已知 x2y2z22x4y6z140，求 xyz 的值 (2) 求证：无论x，y 取任何实数，多项式x2y22x4y16 的值总是正数. 21.2.2 公式法,理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2bxc0(a0)的求根公式的推导，并应用,公式法解一元二次方程,重点 求根公式的推导和公式法的应用 难点 一元二次方程求根公式的推导,6,一、复习引入,前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”