函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是()A.0,2B.0,C.0,-D.2,-【解析】选C.由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0得x=0或x=-.2.(2016成都模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是()A.f(x)=8x-2B.f(x)=(x+1)2C.f(x)=ex-1D.f(x)=ln【解析】选A.因为g(0)=-10,所以g(0)g0,所以g(x)的零点在内,因为f(x)=8x-2的零点为,故选A.3.函数f(x)=-cosx在上的零点个数为()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.由f(x)=xcosx2=0,得x=0或cosx2=0.又x,所以x2.由于cos=0(kZ),而在+k(kZ)的所有取值中,只有,满足在内,故零点个数为1+5=6.4.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则()A.abcB.acbC.bacD.cab【解析】选B.由于f(-1)=-1=-0,且f(x)为R上的增函数.故f(x)=2x+x的零点a(-1,0).因为g(2)=0,所以g(x)的零点b=2;因为h=-1+=-0,且h(x)为(0,+)上的增函数,所以h(x)的零点c,因此acb.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选B.由f(x)=0得2x=-x;由h(x)=0得log2x=-x,作出函数y=2x,y=log2x和y=-x的图象(如图).由图象易知a0,0c1,而b=2,故ac0时有一解,得出2x-a=0在(-,0上有解,从而确定a的取值范围.【解析】选D.因为当x0时,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=.所以要使f(x)在R上有两个零点,则必须2x-a=0在(-,0上有解.又当x(-,0时,2x(0,1.故所求a的取值范围是(0,1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016潍坊模拟)已知函数f(x)=x3-bx2+c(b,c为常数),当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)只有三个零点,则实数c的取值范围是.【解析】因为f(x)=x3-bx2+c,所以f(x)=x2-2bx,当x=2时,f(x)取得极值,得b=1,所以f(x)=x2-2x=x(x-2),则f(x)在(-,0),(2,+)上单调递增,在(0,2)上单调递减,其大致图象如图所示则解得0c.答案:7.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.【解析】画出f(x)=的图象,如图.由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得:0m0,且a1),当2a3b0),则t2+mt+1=0.当=0时,即m2-4=0,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当0时,即m2或m-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.(2)由(1)可知,该函数的零点为x=0.10.(2016安庆模拟)已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数在区间上存在零点,求实数q的取值范围.(2)是否存在常数t(t0),当x时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(视区间的长度为b-a).【解析】(1)因为函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,所以f(x)在区间上是减函数.因为函数在区间上存在零点,则必有即所以-20q12.(2)因为0t10,f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,且对称轴是x=8.当0t6时,在区间上,f(t)最大,f(8)最小,所以f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,解得t=,所以t=;当6t8时,在区间上,f(10)最大,f(8)最小,所以f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;当8t0时,f(x)=-x2+x=- +.当x0时,f(x)=-2x0,当直线y=a与曲线y=f(x)有三个公共点时,0a,设x1x2x3,则x2x3=a,且x1=-,所以x1x2x3=-.3.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.【解析】作出函数y=f(x)在上的图象,f(-3)=f (-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=,观察图象可得0a0.所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)因为g(x)=-4lnx=x-4lnx-2(x0),所以g(x)=1+-=.令g(x)=0,得x1=1,x2=3.当x变化时,g(x),g(x)的取值变化情况如下:x(0,1)1(1,3)3(3,+)g(x)+0-0+g(x)极大值极小值当0x3时,g(x)g(1)=-40).(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)因为g(x)=x+2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+),因而只需m2e,则y=g(x)-m就有零点.【一题多解】本题还可以采用以下方法:作出g(x)=x+(x0)的大致图象如图.可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x0)的大致图象如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+).