指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于()A.5B.7C.9D.11【解析】选B.因为f(x)=2x+2-x,f(a)=3,所以2a+2-a=3.所以f(2a)=22a+2-2a= (2a+2-a)2-2=9-2=7.2.下列函数中值域为正实数的是()A.y=-5xB.y=C.y=D.y=【解析】选B.A中,y=-5x0,B中,因为1-xR,y=的值域是正实数,所以y=的值域是正实数,C中,y=0,D中,y=,由于2x0,故1-2x1,又1-2x0,故0ybcB.acbC.cabD.bca【解析】选A.由0.20.6,0.40.40.6,即bc;因为a=20.21,b=0.40.2b.综上,abc.5.(2016莱芜模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a0,a1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.【解析】选B.由f(1)=得a2=.又a0,所以a=,因此f(x)=.因为g(x)=|2x-4|在B.C.D.上是增函数,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.可知C正确.10.(2016杭州模拟)已知0x2,则y=-32x+5的最大值为.【解析】令t=2x,因为0x2,所以1t4,又y=22x-1-32x+5,所以y=t2-3t+5=(t-3)2+,因为1t4,所以t=1时,ymax=.答案:【误区警示】解决本题易忽视换元后新元的取值范围致误,如本题令t=2x后,若忽视t的取值范围,则会误认为tR或t,从而出现错误.【加固训练】已知函数y=9x+m3x-3在区间上单调递减,则m的取值范围为.【解析】设t=3x,则y=9x+m3x-3=t2+mt-3.因为x,所以t.又函数y=9x+m3x-3在区间上单调递减,即y=t2+mt-3在区间上单调递减,故有-9,解得m-18.所以m的取值范围为(-,-18.答案:(-,-18(20分钟35分)1.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a0,b0,c0B. a0C.2-a2cD.2a+2c2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,因为abf(c)f(b),结合图象知0f(a)1,a0,所以02a1.所以f(a)=|2a-1|=1-2a1,所以f(c)1,所以0c1.所以12cf(c),所以1-2a2c-1,所以2a+2c2.【加固训练】(2016南昌模拟)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x1时,f(x)=3x-1,则有()A.fffB.fffC.fffD.ff1)是增函数,所以a1,并且要满足解得10且a1)是定义在(-,+)上的奇函数.(1)求a的值.(2)求函数的值域.(3)当x(0,1时,tf(x)2x-2恒成立,求实数t的取值范围.【解题提示】由f(0)=0求a,借助ax的范围求值域,借助二次函数恒成立的知识求t的取值范围.【解析】(1)因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(0)=0,即1-=0.解得a=2.(2)因为y=f(x)=,所以2x=.由2x0知0,所以-1y1.即f(x)的值域为(-1,1).(3)不等式tf(x)2x-2等价于2x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-20.令2x=u,因为x(0,1,所以u(1,2.又u(1,2时,u2-(t+1)u+t-20恒成立.所以解得t0.故所求t的取值范围为0,+).【方法技巧】求解与指数函数有关的复合函数问题的策略(1)首先熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.(2)对于同时含ax,a2x的表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.