解：延长 AD 到E,使AD=DE D 是BC 中点 BD=DC 在ACD 和BDE 中 AD=DE BDE=ADC BD=DC ACDBDE AC=BE=2 在ABE 中 AB-BEAEAB+BE AB=4 即 4-22AD4+2 1AD3 AD=2,2.已知：D 是 AB 中点，ACB=90，求 1,证： CD AB 2, BC=ED,CF=DF,BCF=EDF 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) BF=EF,CBF=DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF EBF=BEF 。, ABC=AED 。 ABE=AEB 。 AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF= AEB+ BEF= AEF 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 BAF=EAF (1=2) 。,过 C 作 CGEF 交 AD 的延长线于点 G CGEF， 可 得 ，EFDCGD DEDC FDEGDC（对顶角） EFDCGD EFCG CGDEFD 又，EFAB ，EFD1 1=2,CGD2 AGC 为等腰三角形， ACCG 又 EFCG EFAC,证明：延长 AB 取点 E，使 AEAC，连接 DE AD 平分BAC EADCAD AEAC，ADAD AEDACD（SAS） EC ACAB+BD AEAB+BD AEAB+BE BDBE BDEE ABCE+BDE ABC2E,3.已知：BC=DE，B=E，C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2 A,B,D,E,CF 4. 5.证明：连接 BF 和EF,12,1.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点， 111749AD 是整数，求 AD A,D,B,C,D,A,CB 延长 CD 与P，使 D 为CP 中点。连接 AP,BP DP=DC,DA=DB ACBP 为平行四边形 又ACB=90 平行四边形ACBP 为矩形 AB=CP=1/2AB,B,C,D,F,6.已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证： EF=AC A 1 2,E,7.已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求 证：B=2C A,1,ABC2C,8.已知：AC 平分BAD，CEAB，B+ D=180，求证：AE=AD+BE,证明： 在 AE 上取F，使 EFEB，连接 CF CEAB CEBCEF90 EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180，CFECFA180 DCFA AC 平分BAD DACFAC ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE,9.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD,是整数，求 AD,解：延长 AD 到E,使AD=DE,D 是 BC 中点,BD=DC,在ACD 和BDE 中,AD=DE,BDE=ADC,BD=DC,ACDBDE,AC=BE=2,在ABE 中,AB-BEAEAB+BE,AB=4,即4-22AD4+2,1AD3,AD=2,10. 已知：D 是 AB 中点，ACB=90，求,2,证： CD 1 AB,解：延长 AD 到E,使AD=DE,D 是 BC 中点,BD=DC,在ACD 和BDE 中,AD=DE,BDE=ADC,BD=DC,ACDBDE,AC=BE=2,在ABE 中,AB-BEAEAB+BE,AB=4,即4-22AD4+2,1AD3,AD=2,11. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2,在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF= AEB+ BEF= AEF。 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 BAF=EAF (1=2) 。,12. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证： EF=AC,B,E,CFD 证明：连接 BF 和EF。 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF 。 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。 BF=EF,CBF=DEF 。 连接BE。 在三角形BEF 中,BF=EF。 EBF=BEF 。 又 ABC=AED。 ABE=AEB 。 AB=AE 。,A 12,A,D,B,C,D,2,A,B,C,（SAS）,AEDACD EC ACAB+BD AEAB+BD AEAB+BE BDBE BDEE,ABCE+BDE ABC2E ABC2C 14. 已知：AC 平分BAD，CEAB，B+ D=180，求证：AE=AD+BE,在 AE 上取F，使 EFEB，连接 CF CEAB CEBCEF90 EBEF，CECE， CEBCEF BCFE,ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE,12. 如图，四边形ABCD 中，ABDC，BE、 CE 分别平分ABC、BCD，且点 E 在 AD 上。求证：BC=AB+DC。,在 BC 上截取 BF=AB，连接 EF BE 平分ABC ABE=FBE 又BE=BE ABEFBE（SAS） A=BFE AB/CD A+D=180 BFE+CFE=180 D=CFE 又DCE=FCE CE 平分BCD CE=CE DCEFCE（AAS）,证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E，（当 ADBC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。则： AED 是等腰三角形。 AE=DE,B,C,D,A 1 2 F,E,C,D,B,C,F,EF=BC，求证：F=C ED,B,C,AB ABED，得：EAB+ AED= BDE+ ABD=180 度， EAB=BDE， AED=ABD， 四边形ABDE 是平行四边形。 得：AE=BD， AF=CD,EF=BC， 三角形AEF 全等于三角形 DBC， F=C。 14. 已知：AB=CD，A=D，求证：B= C AD,过 C 作 CGEF 交 AD 的延长线于点G CGEF， 可 得 ，EFDCGD DEDC FDEGDC（对顶角） EFDCGD EFCG CGDEFD 又 EFAB EFD1 1=2 CGD2 AGC 为等腰三角形， ACCG 又 EFCG EFAC 13. 已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求 证：B=2C A,3,而 AB=CD BE=CE (等量加等量，或等量减等量） BEC 是等腰三角形 B=C.,在 AC 上取点 E，,使 AEAB。,AEAB,APAP,EAPBAE，,EAPBAP,PEPB。,PCECPE,PC（ACAE）PB,PCPBACAB。,16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE， 求证：AC-AB=2BE,证明：,在 AC 上取一点D，使得角 DBC=角C,ABC=3C,ABD=ABC-DBC=3C-C=2C；,ADB=C+DBC=2C;,AB=AD,AC AB =AC-AD=CD=BD,在等腰三角形ABD 中，AE 是角 BAD 的角平,分线，,AE 垂直 BD,BEAE,点E 一定在直线 BD 上，,在等腰三角形ABD 中，AB=AD，AE 垂直 BD,点E 也是 BD 的中点,BD=2BE,BD=CD=AC-AB,AC-AB=2BE,C 于点 E,求证：ADBC 解：延长 AD 至 B BD=DC,BDC 是等腰三角形,DBC=DCB,1=2,又 DBC+1=DCB+2,即ABC=ACB,ABC 是等腰三角形,AB=AC,在ABD 和ACD 中,AB=AC,1=2,BD=DC,ABD 和ACD 是全等三角形（边 角边）,BAD=CAD,AE 是ABC 的中垂线,AEBC,ADBC,19如图，OM 平分POQ，MAOP,MB OQ，A、B 为垂足，AB 交 OM 于点 N 求证：OAB=OBA,证明： OM 平分POQ POMQOM MAOP，MBOQ MAOMBO90 OMOM AOMBOM（AAS） OAOB ONON AONBON（SAS） OAB=OBA，ONA=ONB ONA+ONB180 ONAONB90,P,D,15. P 是BAC 平分线 AD 上一点，ACAB， 求证：PC-PBAC-AB C,A,B,F,17. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD，BD=5， AC=7，求 DC D,C,A EB 作AGBD 交 DE 延长线于G AGE 全等 BDE AG=BD=5 AGFCDF AF=AG=5 DC=CF=2 18如图，在ABC 中，BD=DC，1=2，,4,OMAB 20（5 分）如图，已知 ADBC，PAB 的平 分线与CBA 的平分线相交于 E，CE 的连线 交 AP 于 D求证：AD+BC=AB,做,BE 的延长线，,与 AP 相交于 F 点，,PA/BC PAB+CBA=180，又，AE，BE 均 为PAB 和CBA 的角平分线 EAB+EBA=90AEB=90，EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中，AEBF，且 AE 为FAB 的角平分线 三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中， EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB， 三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形， DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC,21如图，ABC 中，AD 是CAB 的平分线， 且 AB=AC+CD，求证：C=2B,延长 AC 到E,使 AE=AC 连接 ED AB=AC+CD CD=CE 可得B=E CDE 为等腰 ACB=2B,22（6 分）如图，E、F 分别为线段 AC 上 的两个动点，且 DEAC 于 E，BFAC 于 F，若 AB=CD，AF=CE，BD 交 AC 于 点 M 求证：MB=MD，ME=MF 当 E、F 两点移动到如图的位置时 ，其余条件不变，上述结论能否成立？若 成立请给予证明；若不成立请说明理由,（1）连接 BE，DF,DEAC 于E，BFAC 于 F，,DEC=BFA=90，DEBF，,在 RtDEC 和 RtBFA 中，,AF=CE，AB=CD，,RtDECRtBFA（HL），,DE=BF,四边形BEDF 是平行四边形,MB=MD，ME=MF；,（2）连接 BE，DF,DEAC 于E，BFAC 于 F，,DEC=BFA=90，DEBF，,在 RtDEC 和 RtBFA 中，,AF=CE，AB=CD，,RtDECRtBFA（HL），,DE=BF,四边形BEDF 是平行四边形,MB=MD，ME=MF,已知：如图，DCAB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点， 求证：AEDEBC 观看图前，在不添辅助线的情况下， 除EBC 外，请再写出两个与AED 的,面积相等的三角形（直接写出结果， 不要求证明）：,证明：,DCAB CDEAED DEDE，DCAE AEDEDC E 为AB 中点 AEBE BEDC DCAB DCEBEC CECE EBCEDC AEDEBC 24（7 分）如图，ABC 中，BAC=90 度，,P,E,D,C,AB,O,E,D,C,B,A,D,5,C,B,A,AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长 线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA,证明：,CEB=CAB=90,ABCE 四点共元,AB E=CB E,AE=CE,ECA=EAC,取线段 BD 的中点 G，连接 AG，则：AG=BG=DG,GAB=ABG,而：ECA=GBA (同弧上的圆周角相等）,ECA=EAC=GBA=GAB,而：AC=AB,AECAGB,EC=BG=DG,BE=2CE,25、如图：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：,AEDBFC。,EF,D,C,B,A,证明：DF=CE，,DF-EF=CE-EF，,即 DE=CF，,在AED 和BFC 中，, AD=BC， D=C ，DE=CF,AEDBFC（SAS）,26、（