,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达 目录 上页 下页 返回 结束,定义,例如,一、,型未定式,存在 (或为 ),定理 1.,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,( 在 x , a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯西,故,定理条件:,定理条件,存在 (或为 ),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,例2. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 证明略 ),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例4,解,例5. 求,解:,原式,例6. 求,解: (1) n 为正整数的情形.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,(2) n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k , 使当 x 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例7:,解,例3.,例4.,说明:,1) 例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如:,而,用洛必达法则,2) 有时,在满足定理条件的情况下洛必达法则失效.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 若,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例8. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,例9. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例10. 求,解:,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,内容小结,洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,1.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书 .,则 ”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,