第二章平面向量 21 平面向量的实际背景及基本概念 练习 （P77） 1、略. 2、 AB ， BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等. 3、2AB，2.5CD，3EF，2 2GH. 4、 （1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同 . 习题 2.1 A 组（P77） 1、 30 45 C A O B （2） D C B A . 3、与 DE 相等的向量有：,AF FC ；与 EF 相等的向量有：,BD DA ； 与 FD 相等的向量有： ,CE EB. 4、与 a 相等的向量有：,CO QP SR；与 b 相等的向量有：,PM DO ； 与 c 相等的向量有：,DC RQ ST 5、 3 3 2 AD. 6、 （1）；（2）；（3）；（4） . 习题 2.1 B 组（P78） 1、海拔和高度都不是向量. 2、 相等的向量共有24对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与 AM 同向的共有 6 对， 与 AM 反向的也有 6 对；与 AD 同向的共有 3 对，与 AD 反向的也有 6 对；模为2 的向量共有 4 对；模为 2 的向量有 2 对 22 平面向量的线性运算 练习 （P84） 1、图略 . 2、图略 . 3、 （1） DA ；（2）CB . 4、 （1） c；（2） f ；（3） f ；（4）g. 练习 （P87） 1、图略 . 2、 DB ， CA ， AC ， AD ， BA . 3、图略 . 练习 （P90） 1、图略 . 2、 5 7 ACAB， 2 7 BCAB. 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是 BC 与 AB 反向. 3、 （1）2ba ；（2） 7 4 b a ； （3） 1 2 b a ； （4） 8 9 ba. 4、 （1）共线；（2）共线 . 5、 （1）32ab；（2） 111 123 ab；（3） 2ya. 6、图略 . 习题 2.2 A 组（P91） 1、 （1）向东走 20 km；（2）向东走 5 km；（3）向东北走 102 km； （4）向西南走 5 2 km； （5）向西北走 102 km； （6）向东南走 10 2 km. 2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53方向飞行 500 km. 水流方向 C DA B 3、解：如右图所示：AB 表示船速， AD 表示河水 的流速，以AB、AD为邻边作ABCD，则 AC 表示船实际航行的速度. 在 RtABC 中，8AB，2AD， 所以 22 22 822 17ACABAD 因为tan4CAD，由计算器得76CAD 所以，实际航行的速度是2 17km/h， 船航行的方向与河岸的夹角约为76. 4、 （1） 0； （2） AB ； （3） BA ； （4） 0 ； （5） 0 ； （6）CB ； （7） 0 . 5、略 6、不一定构成三角形 . 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三 个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段 一定能构成三角形 . 7、略. 8、 （1）略；（2）当 ab 时， abab 9、 （1） 22a b ； （2）102210ab c ； （3） 1 3 2 ab；（4）2()xy b . 10、 1 4abe， 12 4abee， 12 32310abee. 11、如图所示， OCa ，ODb ， DCba ， BCab . 12、 1 4 AEb， BCba ， 1 () 4 DEba， 3 4 DBa ， 3 4 ECb， 1 () 8 DNba， 11 () 48 ANAMab. 13、证明：在ABC中，,E F 分别是,AB BC 的中点， （第 11 题） （第 12 题） 所以EFAC/ /且 1 2 EFAC， 即 1 2 EFAC； 同理， 1 2 HGAC， 所以 EF HG . 习题 2.2 B 组（P92） 1、丙地在甲地的北偏东45方向，距甲地1400 km. 2、不一定相等，可以验证在,a b不共线时它们不相等 . 3、证明：因为 MNANAM ，而 1 3 ANAC， 1 3 AMAB， 所以 1111 () 3333 MNACABACABBC. 4、 （1）四边形ABCD为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD为梯形 . 证明： 1 3 ADBC， ADBC/ /且ADBC 四边形ABCD为梯形 . （3）四边形ABCD为菱形 . 证明： ABDC ， ABDC/ /且ABDC 四边形ABCD为平行四边形 又 ABAD 四边形ABCD为菱形 . 5、 （1）通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形 . 证明：因为 OAOBBA ，ODOCCD （第 13 题） E H G F D C A B 丙 甲 乙 （第 1题） （第 4 题(2)） B A C D （第 4 题(3)） A D C B A D M O B C （第 5题） 而 OAOCOBOD 所以 OAOBODOC 所以 BACD ，即ABCD. 因此，四边形ABCD为平行四边形 . 23 平面向量的基本定理及坐标表示 练习 （P100） 1、 （1）(3,6)ab，( 7, 2)ab；（2）(1,11)ab，(7,5)ab； （3）(0,0)ab，(4,6)ab；（4）(3,4)ab，(3, 4)ab. 2、24( 6, 8)ab， 43(12,5)ab. 3、 （1）(3,4)AB，( 3, 4)BA；（2）(9,1)AB，( 9,1)BA； （3）(0,2)AB，(0, 2)BA；（4）(5,0)AB，( 5,0)BA 4、ABCD. 证明：(1, 1)AB，(1, 1)CD， 所以 ABCD .所以ABCD. 5、 （1）(3,2) ；（2） (1,4) ；（3） (4, 5) . 6、 10 (,1) 3 或 14 (, 1) 3 7、 解： 设( , )P x y ， 由点P在线段AB的延长线上，且 3 2 APPB， 得 3 2 APPB ( ,)(2,3)(2,3)APx yxy，(4,3)( , )(4, 3)PBx yxy 3 (2,3)(4, 3) 2 xyxy 3 2(4) 2 3 3( 3) 2 xx yy 8 15 x y ，所以点P的坐标为 (8, 15) . 习题 2.3 A 组（P101） 1、 （1） ( 2,1) ；（2） (0,8) ；（3） (1,2) . 说明：解题时可设( ,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、 123 (8,0)FFF 3、解法一：( 1, 2)OA，(53,6( 1)(2,7)BC 而 AD BC ， (1,5)ODOAADOABC. 所以点D的坐 标为 (1,5). 解法二：设( ,)D x y ，则( 1),( 2)(1,2)ADxyxy， (53,6( 1)(2,7)BC 由 ADBC 可得， 12 27 x y ，解得点D的坐标为 (1,5). 4、解：(1,1)OA，( 2,4)AB. 1 ( 1,2) 2 ACAB，2( 4,8)ADAB， 1 (1, 2) 2 AEAB. (0,3)OCOAAC，所以，点C的坐标为 (0,3) ； ( 3,9)ODOAAD，所以，点D的坐标为 ( 3,9) ； (2,1)OEOAAE，所以，点E的坐标为 (2,1). 5、由向量,a b共线得 (2,3)( , 6)x，所以 23 6x ，解得4x. 6、(4,4)AB，( 8, 8)CD，2CDAB ，所以 AB 与 CD 共线 . 7、2(2, 4)OAOA，所以点A的坐标为 (2,4) ； 3( 3,9)OBOB，所 以 点B的 坐标 为( 3,9)；故 ( 3,9)(2,4)( 5,5)A B 习题 2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA，(3,3)AB. 当1t时，(4,5)OPOAABOB，所以(4,5)P； 当 1 2 t时， 13 35 7 (1,2)(,)(,) 22 22 2 OPOAAB，所以 5 7 (,) 2 2 P； 当2t时， 2(1,2)(6,6)( 5, 4)OPOAAB ，所以( 5, 4)P； 当2t时，2(1,2)(6,6)(7,8)OPOAAB，所以(7,8)P. 2、 （1）因为( 4, 6)AB，(1,1.5)AC，所以4ABAC，所以A、B、C三 点共线； （2）因为(1.5, 2)PQ，(6,8)PR，所以4PRPQ ，所以P、 Q 、R三 点共线； （3）因为( 8, 4)EF，( 1, 0.5)EG，所以8EFEG ，所以E、F、G 三点共线 . 3、证明：假设 1 0，则由 1122 0ee，得 2 12 1 e e . 所以 12 ,e e是共线向量，与已知 12 ,e e是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误， 1 0. 同理 2 0 . 综上 12 0. 4、 （1）19OP. （2）对于任意向量 12 OPxeye，, x y都是唯一确 定的， 所以向量的坐标表示的规定合理. 24 平面向量的数量积 练习 （P106） 1、 1 cos,8 624 2 p qpqp q. 2、当0a b时，ABC为钝角三角形；当0a b时，ABC为直角三角形 . 3、投影分别为 3 2 ，0，3 2 . 图略 练习 （P107） 1、 22 ( 3)45a， 22 5229b，35427a b. 2、8a b， ()()7ab ab，()0abc， 2 ()49ab. 3、1a b，13a，74b，88. 习题 2.4 A 组（P108） 1、6 3a b， 22 2 ()22512 3abaa bb，2512 3ab. 2、 BC 与 CA 的夹角为 120，20BC CA. 3、 22 223abaa bb， 22 235abaa bb. 4、证法一：设 a 与 b 的夹角为. （1）当0时，等式显然成立； （2）当0时，a 与 b ， a 与b 的夹角都为， 所以()coscosaba ba b ()cosa ba b ()coscosababa b 所以()()()aba bab ； （3）当0时，a 与 b ， a 与b 的夹角都为180， 则 ()cos(180)cosaba ba b ()coscosa ba ba b ()cos(180)cosababa b 所以()()()aba bab ； 综上所述，等式成立. 证法二：设 11 (,)axy， 22 (,)bxy， 那么 11221212 ()(,) (,)abxyxyx xy y 112212121212 ()(,) (,)()a bx yxyx xy yx xy y 11221212 ()(,) (,)abx yxyx xy y 所以()()()aba bab ； 5、 （1）直角三角形，B为直角 . 证明：( 1, 4)(5,2)( 6, 6)BA，(3,4)(5,2)( 2,2)BC 6( 2)( 6)20BA BC BABC，B为直角，ABC为直角三角形 （2）直角三角形，A为直角 证明：(19,4)( 2, 3)(21,7)AB，( 1, 6)( 2, 3)(1, 3)AC 21 17( 3)0AB AC AB AC ，A为直角，ABC为直角三角形 （3）直角三角形，B为直角 证明：(2,5)(5,2)( 3,3)BA，(10,7)(5,2)(5,5)BC 353 50BA BC BA BC，B为直角， ABC为直角三角形 6、135. 7、120. 22 (23 )(2)44361ababaa bb，于是可得6a b， 1 cos 2 a b a b ，所以120.