1 / 13 高等数学（下册）考试试卷（一）高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、 =的定义域为 D= 。z)0( )(log 22 ayx a 2、二重积分的符号为 。 1| 22 )ln( yx dxdyyx 3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值xyln1eyx1y 为 。 4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 。),( )( )( x ty tx ds 5、设曲面为介于及间的部分的外侧，则 。9 22 yx0z3z dsyx) 1 22 （ 6、微分方程的通解为 。 x y x y dx dy tan 7、方程的通解为 。04 )4( yy 8、级数的和为 。 1 ) 1( 1 n nn 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、二元函数在处可微的充分条件是（ ）),(yxfz ),( 00 yx （A）在处连续；),(yxf),( 00 yx （B），在的某邻域内存在；),(yxfx),(yxfy),( 00 yx （C） 当时，是无穷小；yyxfxyxfz yx ),(),( 0000 0)()( 22 yx （D）。0 )()( ),(),( lim 22 0000 0 0 yx yyxfxyxfz yx y x 2、设其中具有二阶连续导数，则等于（ ）),()( x y xf y x yfuf 2 2 2 2 y u y x u x （A）； （B）； (C)； (D)0 。yx xy 3、设：则三重积分等于（ ）, 0, 1 222 zzyx zdVI （A）4；（B）； 2 0 2 0 1 0 3 cossin drrdd 2 00 1 0 2 sin drrdd 2 / 13 （C）；（D）。 2 0 2 0 1 0 3 cossindrrdd 2 00 1 0 3 cossindrrdd 4、球面与柱面所围成的立体体积 V=（ ） 2222 4azyxaxyx2 22 （A）； （B）； 2 0 cos2 0 22 44 a drrad 2 0 cos2 0 22 44 a drrard （C）； （D）。 2 0 cos2 0 22 48 a drrard 2 2 cos2 0 22 4 a drrard 5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数在 D 上具有一阶连续偏导数，),(),(yxQyxP 则 L QdyPdx)( （A）； （B）； D dxdy x Q y P )( D dxdy x P y Q )( （C）； （D）。 D dxdy y Q x P )( D dxdy y P x Q )( 6、下列说法中错误的是（ ） （A）方程是三阶微分方程；02 2 yxyyx （B）方程是一阶微分方程；xy dx dy x dx dy ysin （C）方程是全微分方程；0)3()2( 22232 dyyxydxxyx （D）方程是伯努利方程。 x y x dx dy2 2 1 7、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 满足微分方程)(xyy 062 yx)(xy ，则曲线的方程为（ ）052 yyyy （A）； （B）；xe x 2sin)2cos2(sinxxe x （C）； （D）。)2sin2(cosxxe x xe x 2sin 8、设 , 则（ ）0lim n n nu 1n n u （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、 （7 分）设均为连续可微函数。，gf ,)(),(xyxgvxyxfu 3 / 13 求。 y u x u , 2、 （8 分）设，求。 tx tx dzzftxu)(),( t u x u , 四、求解下列问题（共计 15 分） 。 1、计算。 （7 分）I 2 0 2 2 x y dyedx 2、计算，其中是由所围成的空间闭区域（8 分） dVyxI)( 22 x21,2 22 zzzy及 五、 （13 分）计算，其中 L 是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封 L yx ydxxdy I 22 xoy)0 , 0(O 闭曲线的逆时针方向。 六、 （9 分）设对任意满足方程，且存在，求。)(,xfyx )()(1 )()( )( yfxf yfxf yxf )0( f )(xf 七、 （8 分）求级数的收敛区间。 1 12 12 )2( ) 1( n n n n x 高等数学（下册）考试试卷（二）高等数学（下册）考试试卷（二） 1、设，则 。zyxzyx32)32sin(2 y z x z 2、 。 xy xy y x 93 lim 0 0 3、设，交换积分次序后， 。 2 0 2 ),( x x dyyxfdxII 4、设为可微函数，且则 。 )(uf, 0)0(f 222 )( 1 lim 22 3 0 tyx t dyxf t 5、设 L 为取正向的圆周，则曲线积分4 22 yx 。 L xx dyxyedxyey)2() 1( 6、设，则 。 kxyzjxzyiyzxA)()()( 222 Adiv 7、通解为的微分方程是 。 xx ececy 2 21 8、设，则它的 Fourier 展开式中的 。 x x xf 0, 1 0, 1 )( n a 4 / 13 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 。 1、设函数 ,则在点（0，0）处（ ） 0, 0 0, ),( 22 22 42 2 yx yx yx xy yxf （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu 及 ，0 2 yx u 2 2 x u 0 2 2 y u 则（ ） （A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。 3、设平面区域 D：，若，1) 1()2( 22 yx D dyxI 2 1 )( D dyxI 3 2 )( 则有（ ） （A）； （B） ； （C）； （D）不能比较。 21 II 21 II 21 II 4、设是由曲面及 所围成的空间区域，则 =（ ）1,xxyxyz0z dxdydzzxy 32 （A）； （B）； （C） ； （D）。 361 1 362 1 363 1 364 1 5、设在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ，其中在),(yxf )( )( ty tx )( t)(),(tt 上具有一阶连续导数，且， 则曲线积分（ ）,0)()( 22 tt L dsyxf),( (A) ； (B) ； dtttf)(),( dtttttf)()()(),( 22 (C) ； (D)。 dtttttf)()()(),( 22 dtttf)(),( 6、设是取外侧的单位球面， 则曲面积分1 222 zyx =（ ） zdxdyydzdxxdydz (A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。24 7、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） 21, y y 21 yy (A) ； (B) ；0)()(xqyxpy0)()( yxqyxpy 5 / 13 (C) ； (D) 。)()()(xfyxqyxpy 0)()( xqyxpy 8、设级数为一交错级数，则（ ） 1n n a (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散； (C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若，则必收敛。)0(0nan 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、 （8 分）求函数在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2，2）)ln( 22 zyxu 的方向的方向导数。 2、 （7 分）求函数在由直线所围成的闭区域 D 上的最大)4(),( 2 yxyxyxf0, 0, 6xyyx 值和最小值。 四、求解下列问题（共计 15 分） 1、 （7 分）计算，其中是由及 所围成的立体 3 )1 (zyx dv I0, 0, 0zyx1zyx 域。 2、 （8 分）设为连续函数，定义，)(xf dvyxfztF)()( 222 其中，求。 222 ,0| ),(tyxhzzyx dt dF 五、求解下列问题（15 分） 1、（8分） 求， 其中L是从A（a， 0） 经到O（0， 0） L xx dymyedxmyyeI)cos()sin( 2 xaxy 的弧。 2、 （7 分）计算，其中是 的外侧。 dxdyzdzdxydydzxI 222 )0( 222 azzyx 六、 （15 分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分)(x 与路径无关，求函数。 L x dyxydxxexx)()(2)(3 2 )(x 高等数学（下册）考试试卷（三）高等数学（下册）考试试卷（三） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设， 则 。 yz xz t dteu 2 z u 2、函数在点（0，0）处沿的方向导数)2sin(),(yxxyyxf)2 , 1 (l 6 / 13 = 。 )0, 0( l f 3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对0,1 22 zyxz dvzyxfI),(z 最后对三次积分，则 I= 。yx 4、设为连续函数，则 ，其中。),(yxfI D t dyxf t ),( 1 lim 2 0 222 :tyxD 5、 ，其中。 L dsyx)( 22222 :ayxL 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，),(zyxP ，在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系),(zyxQ),(zyxR 式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程的特解可设为 。 9696 2 xxyyy * y 8、若级数发散，则 。 1 1 ) 1( n p n n p 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、设存在，则=（ ）),(bafx x bxafbaxf x ),(),( lim 0 （A）；（B）0；（C）2；（D）。),(bafx),(bafx 2 1 ),(bafx 2、设，结论正确的是（ ） 2 y xz （A）； （B）；0 22 xy z yx z 0 22 xy z yx z （C）； （D）。0 22 xy z yx z 0 22