指数函数、对数函数、幂函数全章复习与巩固【学习目标】1理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。2了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。3培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。4知道指数函数与对数函数互为反函数(a0，a1)。【知识网络】【要点梳理】知识点一、指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二、指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中).4.对数的运算性质如果，那么加法：减法：数乘：换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点五：反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算例1.化简与计算下列各式（1）；（2）；（3）举一反三：【变式一】化简下列各式：(1)； (2).例2.（1）化简：；（2）计算：（3）已知：，求：的值.举一反三：【变式】已知，求的值。例3.计算（1）；（2）；（3）类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例4.已知函数则( )A.4 B. C.-4 D.-举一反三：【变式一】已知函数若，则实数等于（ ）A. B. C. 2 D. 9例5.函数的定义域( ) A. B. C. D. 例6.设函数 若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 例7函数的单调递增区间是（）A（3，+） B（，3） C（4，+） D（，2）例8已知函数y=()|x+1|。（1） 作出图象；（2） 由图象指出其单调区间；（3） 由图象指出当x取什么值时函数有最值。例9. 若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )A.m-1 B.-1m0 C.m1 D.0m1举一反三：【变式1】 函数的图象是（ ） A B C D【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）。A.（1，10） B.（5，6） C.（10，12） D.（20，24）类型三：综合问题例10.已知函数为常数)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性.(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围.举一反三：【变式1】已知（1）求定义域；（2）讨论函数的单调区间；（3）解方程例11设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围参考答案【典型例题】类型一：指数、对数运算例1.化简与计算下列各式（1）；（2）；（3）【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.【答案】（1）；（2）100；(3)【解析】(1)原式=1+=；(2)原式= = =100(3) 原式=.【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的； 举一反三：【变式一】化简下列各式：(1)； (2).【答案】（1）-27；（2）【解析】(1) ；(2) 例2.（1）化简：；（2）计算：（3）已知：，求：的值.【思路点拨】题目中的式子有根式、分数指数幂，要先化为分数指数幂以便用法则运算。【解析】（1）原式=；（2）原式=（3） 当时，.【总结升华】如果题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求；解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式，;举一反三：【变式】已知，求的值。【解析】，又，例3.计算（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例4.已知函数则( )A.4 B. C.-4 D.-【答案】B【解析】，.【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值.举一反三：【变式一】已知函数若，则实数等于（ ）A. B. C. 2 D. 9【答案】【解析】，由，则有，选例5.函数的定义域( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【总结升华】以对数函数、幂函数为背景的函数定义域问题，一直是高考命题的热点.解答这类问题关键是紧扣真数大于零、底数大于零且不等于1，偶次根号大于等于零、分母不为零例6.设函数 若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】解法一：若，则，得，得，解得。若则，解得由可知解法二：特殊值验证令，满足，故排除A、D。令，不满足，故排除B。【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.【高清课堂：幂指对函数综合377495 例1】例7函数的单调递增区间是（）A（3，+） B（，3） C（4，+） D（，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。【答案】D【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D。例8已知函数y=()|x+1|。（4） 作出图象；（5） 由图象指出其单调区间；（6） 由图象指出当x取什么值时函数有