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新课标高中一轮总复习,第五单元 数列、推理与证明,第36讲,数列模型及应用,1.认识数列的函数特性,能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题. 2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法.,1.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是( ),B,A.63 B.65 C.67 D.71,设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为an,则有a1=2,an+1=2an-1,即 =2. 所以数列an-1是首项为1,公比为2的等比数列. 因此,an-1=2n-1,即an=2n-1+1. 所以a7=26+1=65.,2.在一个凸多边形中,最小内角为120,各内角度数成等差数列,公差为5,则这一凸多边形的边数为( ),A,A.9 B.16 C.9或16 D.9或10,设凸多边形边数为n,其内角和为180(n-2), 依题意,有n120+ n(n-1)5=180(n-2), 化简得n2-25n+144=0,解得n=9或n=16. 当n=16时,最大内角为120+(16-1)5 =1950,180),故n=16舍去, 当n=9时,最大内角为120+(9-1)5=160.,3.若 =110(xN*),则x= .,10,因为1+3+5+(2x-1)= =x2, + + =1- + - + - = , 所以 =110,即x(x+1)=110,解得x=10.,4.椭圆 + =1上有n个不同的点P1,P2,Pn,椭圆的右焦点为F,数列|PnF|是公差不小于 的等差数列,则n的最大值为( ),D,A.198 B.199 C.200 D.201,|P1F|a-c=1,|PnF|max=a+c=3, 所以1+(n-1)d3,所以n-1 , 因为d , 100,所以n-1200,故n201.,5.弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下的弹子尽可能的少,那么剩下的弹子有( ),B,A.3颗 B.4颗 C.8颗 D.9颗,熟悉正四面体的特征,由题设构造模型:第k层为k个连续自然数的和;化简通项再用分组求和法. 依题设,第k层正四面体为1+2+3+k= = , 则前k层共有 (12+22+k2)+ (1+2+k) = 60, k最大为6,剩下4颗,故选B.,1.数列实际应用题常见的数学模型 (1)复利公式. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x期,则本利和y= . (2)单利公式. 利用按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y= .,a(1+r)x,a+arx,(3)产值模型. 原来产值的基数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y= . (4)递推与猜证型 递推型有an+1=f(an)与Sn+1=f(Sn)类,猜证型主要是写出前若干项,猜测结论,并根据题设条件加以证明. 2.数列与其他知识综合,主要有数列与不等式、数列与函数、数列与解析几何等,N(1+p)x,例1,题型一 等差、等比数列的实际应用,某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多?(参考数据:1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665),甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, 甲方案获利:1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9 = 42.63(万元), 银行贷款本息:10(1+5%)1016.29(万元), 故甲方案纯利:42.63-16.29=26.34(万元),,乙方案获利:1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5) =101+ 0.5=32.50(万元); 银行本息和:1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9 =1.05 13.21(万元), 故乙方案纯利:32.50-13.21=19.29(万元); 综上可知,甲方案更好.,这是一道比较简单的数列应用问题,由于本息与利润是熟悉的概念,因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.,例2,题型二 数列与平面向量等的综合,已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点列P1,P2,P3,Pn,且满足 =an +bn (nN*),其中an、bn分别为等差数列和等比数列,O为坐标原点,若P1是线段AB的中点. (1)求a1,b1的值; (2)讨论:点P1,P2,P3,,Pn,是否共线.,(1)因为P1是线段AB的中点, 所以 = + , 又 =a1 +b1 ,且 , 不共线, 由平面向量基本定理,知a1=b1= . (2)由 =an +bn (nN*), 得 =(an,bn). 设an的公差为d,bn的公比为q, 则由于P1,P2,P3,Pn,互不相同, 所以d=0,q=1不会同时成立.,1若d=0且q1,则an=a1= (nN*) P1,P2,P3,Pn,都在直线x= 上; 2若q=1且d0,则bn= 为常数列P1,P2,P3,Pn,都在直线y= 上; 3若d0且q1,P1,P2,P3,Pn,共线 =(an-an-1,bn-bn-1)与 =(an+1-an,bn+1-bn)共线(n1,nN*) (an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0 d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0 (bn+1-bn)=(bn-bn-1)q=1,与q1矛盾, 所以当d0且q1时,P1,P2,P3,Pn,不共线.,本题是数列与平面向量综合的基本题型,以平面向量共线为载体构造数列递推关系或等式,从而得到数列通项及属性,使得问题得到解决.,例3,题型三 数列与算法的创新整合,读下列算法,指出当输入的四个数依次为1,1,0,0时,输出的结果是什么? S1:输入a,b,c,n; S2:n=n+1; S3:a=2a; S4:b=b+2; S5:c=c+ab; S6:若c500,则转S2; S7:输出n,c.,从数列的角度看算法,则S3可以看作an+1=2an;S4可以看作bn+1=bn+2;S5可以看作cn+1=cn+anbn,输入的四个数依次为1,1,0,0,即a0=1,b0=1,c0=0,n=0, 故an=2n,bn=2n+1, cn=a1b1+a2b2+anbn =32+522+723+(2n+1)2n. 因为c1=32=6,c2=6+54=26,c3=26+78=82, c4=82+916=226,c5=226+1132=578500,执行S7,故输出的结果是5,578.,数列中的递推关系与算法中的循环结构简直就是“天造地设的一对”,同学们应重视.,某个网络QQ群体中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏,这些同学依次编号为1,2,n,且在哈哈镜中,每个同学看到的像可用数对(p,q)(pq)来表示.游戏规则如下:若编号为k的同学看到的像为(p,q),则编号为k+1的同学看到的像为(q,r),并满足q-p=k,r-q=k+1(其中p、q、rN*),已知编号为1的同学看到的像为(5,6). (1)请根据以上规律分别写出编号为2和3的同学看到的像; (2)求编号为n的同学看到的像.,(1)由题意规律,编号为2的同学看到的像是(6,8);编号为3的同学看到的像是(8,11). (2)设编号为n的同学看到的像是(bn,an), 则b1=5,a1=6,n2时,bn=an-1, 由题意an-bn=n,所以an-an-1=n(n2), 所以an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1) =2+3+n= ,an= +6= , bn=an-n= . 经检验,n=1时,上式也成立,所以编号为n的同学看到的像是( , ).,1.数列作为特殊的函数,在中学数学中占有相当重要的位置,涉及实际应用的开放性问题广泛而多样,诸如圆钢堆垒、增减率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题. 解答数列应用问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列的模型,再综合运用其他相关知识来解决问题.建立数列模型时,应明确是等差数列模型还是等比数列的模型,或是递推数列模型?是求an,还是求Sn,或是求n?,2.数列综合问题的常用处理方法. (1)数列是一种特殊的函数,因此解数列题应注意运用函数与方程的思想与方法. (2)等价转换思想是解数列有关问题的基本思想方法,复杂的数列求和问题经常转化为等差、等比或常见的特殊数列的求和问题.,(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项,由有限的特殊事例,推测出一般性的结论,都是利用此法实现的. (4)分类讨论的问题在数列解答题中常会遇到.如等比数列中,经常要对公式q进行讨论.如已知Sn求an时,要对n=1,n2时,进行分类讨论.,(2009广东卷)已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,).从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切线ln,切点为Pn(xn,yn). (1)求数列xn与yn的通项公式; (2)证明:x1x3x5x2n-1 sin .,曲线Cn:(x-n)2+y2=n2是圆心为(n,0),半径为n的圆,切线ln:y=kn(x+1). (1)依题意有 =n,解得kn2= . 又切点为(xn,yn),得xn2-2nxn+yn2=0,yn=kn(xn+1), 联立可解得xn= ,yn= .,(2)证明:由(1)知, = , sin = sin . 先证:x1x3x5x2n-1 . 运用数学归纳法: 当n=1时,x1= ,命题成立; 假设n=k时,命题成立, 即x1x3x5x2k-1 , 则当n=k+1时,x1x3x5x2k-1x2k+1 x2k+1= .,因为 = 1, 故 = . 所以,当n=k+1时,命题成立. 故x1x3x5x2n-1 成立. (另证:x1x3x5x2n-1= = .) 下证: sin . 不妨设t= (0, .,令f(t)=t- sint,则f (t)=1- cost0在t(0, 时恒成立. 故f(t)=t- sint在(0, 上单调递减, 从而f(t)=t- sintf(0)=0, 即 sin . 综上,x1x3x5x2n-1 sin 成立.,本节完,谢谢聆听,立足教育,开创未来,
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