第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量函数的分布,3.1 二维随机变量的联合分布一、 多维随机变量,1.定义(p41)将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为 n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,二. 联合分布函数,几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),分布函数F(x, y)具有如下性质：,且,(1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2).,(3)右连续 对任意xR, yR,(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都 可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,例 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0Y3,解:,三.联合分布律,若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，,X Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),x1 x2 xi,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,例 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令,求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,四.二维连续型随机变量及其密度函数,1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负可积函数f (x, y)，使对(x, y)R2， 其分布函数,则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y) f (x, y)， (x, y)R2,2、联合密度f(x, y)的性质 (1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性：,反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外，f (x, y)还有下述性质,(3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有,(4)对于任意平面区域G R2,例设,求:PXY,G,求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。,例 设,解(1)由归一性,(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。,解,3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布(p45) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。,易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布，对D内任意区域G，有,例 设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求PY2X ； (3)求F(0.5,0.5),其中，1、2为实数，10、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的 二维正态分布，可记为,(2)二维正态分布N(1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为(P101),分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。 事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) 称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数， 或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。,定义 n维随机变量(X1,X2,.Xn)， 如果存在非负的n元函数f(x1,x2,.xn)使对任意的 n元立方体,定义 若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)为n维离散型的，称 PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn ，(x1,x2,.xn) 为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的概率密度。,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,例 随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,答: PX0=0,FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,3.2 边缘分布与独立性一、边缘分布函数,FX(x)F (x, +) PXx,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些)低维分量的分布。,例 已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,二、边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称 PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律；,PY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。,例 已知(X,Y)的分布律为 xy10 11/103/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。,解： xy10pi. 11/103/10 03/103/10 p.j,故关于X和Y的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称 (p48),为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称,易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数，而fX(x)是N(2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。,例 设(X,Y)的概率密度为,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,解:(1)由归一性,例 设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度,x=y,x=-y,四、随机变量的相互独立性,定义 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有 paXb,cYd=paXbpcYd 即事件aXb与事件cYd独立，则称随机变量X与Y独立。,定理 随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y),定理 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj 。,由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可,例 已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立，求a、b的值。,例 甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。,定义. 设n维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的k（1kn)维边缘 分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的 边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,.) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n,五n维随机变量的边缘分布与独立性,则称X1,X2,.Xn 相互独立，或称(X1,X2,.Xn)是独立的。,对于离散型随机变量的情形，若对任意整数 i1, i2, , in及实数 有,则称离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。,设X1，X2，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, , xn)Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn) 几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立。,定义 设n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为FX(x1,x2,.,xn)；m维随机变量(Y1,Y2,Ym)的 分布函数为FY(y1,y2,ym), X1,X2,.,Xn ,Y1,Y2,Ym 组成的n+m维随机变量（X1,X2,.,Xn ,Y1,Y2,Ym) 的分布函数为F（x1,x2,.,xn, y1,y2,ym). 如果 F（x1,x2,.xn, y1,y2,ym).= FX(x1,x2,.xn) FY(y1,y2,ym) 则称n维随机变量(X1,X2,.Xn)与m维随机 变量(Y1,Y2,Ym)独立。,定理 设(X1,X2, , Xn )与(Y1, Y2,， Ym )相互独立，则Xi (i=1, 2, , n)与Yi (i=1, 2, , m)相互独立；又若h, g是连续函数，则h(X1,X2, , Xn)与g(Y1, Y2,， Ym )相互独立.,设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )， X和Y的边缘分布律分别为,3.3 条件分布一.离散型随机变量的条件分布律,为Y yj的条件下，X的条件分布律;,若对固定的j, p.j0, 则称,同理，对固定的i, pi. 0, 称,为X xi的条件下，Y的条件分布律;,例 设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.,二 连续型随机变量的条件概率密度,定义. 给定y，设对任意固定的正数0，极限,存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数. 记作,可证当 时,若记 为在Y=y条件下