1 22.3 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验 问题 1：每次试验的前提是什么？ 提示：条件相同 问题 2：试验结果有哪些？ 提示：正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生 问题 3：各次试验的结果有无影响？ 提示：无，即各次试验相互独立 独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 对独立重复试验概念的理解 (1) 每次试验都是在相同的条件下进行； (2) 每次试验的结果相互独立； (3) 每次试验都只有两种结果( 即某事件要么发生，要么不发生) ，并且在任何一次试验 中事件发生的概率均相等； (4) 独立重复试验是相互独立事件的特例. 二项分布 在体育课上， 某同学做投篮训练，他连续投篮3 次，每次投篮的命中率都是0.8. 用Ai(i 1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1 次这件事 问题 1：试用Ai表示B1. 提示：B1(A1A2A3) (A1A2A3) (A1A2A3) 问题 2：试求P(B1) 提示：因为P(A1) P(A2) P(A3) 0.8 ， 且A1A2A3，A1A2A3，A1A2A3两两互斥， 故P(B1) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3) 2 0. 80.2 20.8 0.220.8 0.22 30.8 0.2 2. 问题 3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2) 和P(B3) 提示：P(B2) 30.2 0.8 2， P(B3) 0.8 3. 问题 4：由以上结果你能得出什么结论？ 提示：P(Bk) C k 30.8 k0.23k，k0,1,2,3. 二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数， 设每次试验中事件A发生的概率 为p，则P(Xk) C k np k(1 p) nk( k0,1,2 ，n) 此时称随机变量X服从二项分布，记 作XB(n，p) ，并称p为成功概率 二项分布的理解 (1) 若XB(n，p) ，则X必须是n次独立重复试验中事件A发生的次数，且p为成功概 率( 即事件A发生的概率 ) (2) 由于P(Xk) 恰好是 n 的展开式中的第k1 项，与二项式定理有关，所以称随机变 量X的概率分布为二项分布 求有关二项分布的概率 某安全监督部门对5 家小型煤矿进行安全检查( 简称安检 ) ，若安检不合格， 则必须整 改设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率都是0.5. 计算： (1) 恰有两家煤矿必须整改的概率； (2) 至少有两家煤矿必须整改的概率 设需整改的煤矿有X家，则XB(5，0.5) (1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率为 P(X2) C 2 5(1 0.5) 20.535 16. (2) “至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整 改”，其概率为 3 P(X0) P(X1) C 0 5(1 0.5) 00.55C1 5(1 0.5) 10.543 16，所以至少有两家 煤矿必须整改的概率为1P(X 0) P(X1) 1 3 16 13 16. 1二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率解题的 一般思路是：根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数n，p写 出二项分布的分布列将k值代入求解概率 2二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一 取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率 甲、乙两人各进行3 次射击，甲每次击中目标的概率为 1 2，乙每次击中目标的概率为 2 3， 求： (1) 甲恰好击中目标2 次的概率； (2) 乙至少击中目标2 次的概率； (3) 乙恰好比甲多击中目标2 次的概率 解： (1) 甲恰好击中目标2 次的概率为 C 2 3 1 2 21 2 3 8. (2) 乙至少击中目标2 次的概率为 C 2 3 2 3 21 3C 3 3 2 3 320 27. (3) 设乙恰好比甲多击中目标2 次为事件A，乙恰好击中目标2 次且甲恰好击中目标0 次为事件B1，乙恰好击中目标3 次且甲恰好击中目标1 次为事件B2，则AB1B2，B1，B2 为互斥事件 P(A) P(B1) P(B2) C 2 3 2 3 21 3C 0 3 1 2 3C3 3 2 3 3C1 31 2 1 2 2 1 18 1 9 1 6 . 求二项分布的分布列 ( 湖南高考节选 ) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每 次抽奖都是从装有4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机 摸出 1 个球，在摸出的2 个球中， 若都是红球， 则获一等奖； 若只有 1 个红球， 则获二等奖； 4 若没有红球，则不获奖 (1) 求顾客抽奖1 次能获奖的概率； (2) 若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分 布列 (1) 记事件A1 从甲箱中摸出的1 个球是红球 ，A2 从乙箱中摸出的1 个球是红 球 ， B1 顾客抽奖1 次获一等奖 ，B2 顾客抽奖1 次获二等奖 ，C 顾客抽奖 1 次能获 奖 由题意知A1与A2相互独立，A1A 2与A 1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1A 2A 1A2，CB1B2. 因为P(A1) 4 10 2 5， P(A2) 5 10 1 2， 所以P(B1) P(A1A2) P(A1)P(A2) 2 5 1 2 1 5， P(B2) P(A1A 2A 1A2) P(A1A 2) P(A 1A2) P(A1)P(A 2) P(A 1)P(A2) P(A1)(1 P(A2) (1 P(A1)P(A2) 2 5 1 1 2 12 5 1 2 1 2. 故所求概率为P(C) P(B1B2) P(B1) P(B2) 1 5 1 2 7 10. (2) 顾客抽奖3 次可视为3 次独立重复试验， 由(1) 知，顾客抽奖1 次获一等奖的概率为 1 5， 所以XB3， 1 5 . 于是P(X0) C 0 3 1 5 0 4 5 364 125， P(X1) C 1 3 1 5 1 4 5 2 48 125， P(X2) C 2 3 1 5 2 4 5 1 12 125， P(X3) C 3 3 1 5 3 4 5 0 1 125. 故X的分布列为 5 X 0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 解此类问题，一定要掌握如何建模，这一点至关重要，利用二项分布求解时，注意n 是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率 袋中有 8 个白球、 2 个黑球， 从中随机地连续抽取3 次，每次取 1 个球有放回抽样时， 求取到黑球的个数X的分布列 解：有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均 为1 5，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则XB3， 1 5 . P(X 0) C 0 3 1 5 0 4 5 364 125， P(X1) C 1 3 1 5 1 4 5 2 48 125， P(X2) C 2 3 1 5 2 4 5 1 12 125， P(X3) C 3 3 1 5 3 4 5 0 1 125. X的分布列为 X 0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 6. 理解“至少”“至多”中的误区 某气象台预报每天天气的准确率为0.8 ，则在未来3 天中，至少有2 天预报准确的概 率是 _ 至少有 2 天预报准确，即为恰有2 天或恰有3 天预报准确概率为C 2 30.8 20.2 C3 3 0.8 3 0.896. 所以至少有2 天预报准确的概率为0.896. 6 0.896 1求解时对“至少有2 天”的含义理解出错，误认为“恰有2 天”，实际是“恰有2 天”和“有3 天”两种情况 2在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一 个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义 在本例条件下，至少有一个连续2 天预报都准确的概率是多少？ 解：至少有一个连续2 天预报都准确， 即为恰有一个连续2 天预报都准确或3 天预报都 准确，概率为20.8 2 0.2 0.8 30.768. 所以至少有一个连续 2 天预报都准确的概率为 0.768. 1任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为( ) A. 3 4 B. 3 8 C. 1 3 D. 1 4 解析：选B 每枚硬币正面朝上的概率为 1 2，正面朝上的次数 XB3， 1 2 ，故所求概率 为 C 2 3 1 2 21 2 3 8. 2某电子管正品率为 3 4，次品率为 1 4，现对该批电子管进行测试， 设第次首次测到正 品，则P(3) 等于 ( ) AC 2 3 1 4 23 4 BC 2 3 3 4 21 4 C. 1 4 23 4 D. 3 4 21 4 解析： 选 C 3 表示第 3 次首次测到正品， 而前两次都没有测到正品，故其概率是 1 4 23 4. 3下列说法正确的是_( 填序号 ) 某同学投篮的命中率为0.6 ，他 10 次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X 7 B(10,0.6)； 某福彩的中奖概率为P， 某人一次买了8 张，中奖张数X是一个随机变量， 且XB(8 ， P) ； 从装有 5 个红球、 5 个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数 X是随机变量，且X B n ， 1 2 . 解析：显然满足独立重复试验的条件，而虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二 项分布的定义 答案： 4设XB(4 ，p) ，且P(X2) 8 27，那么一次试验成功的概率 p等于 _ 解析：P(X2)C 2 4p 2(1 p) 2 8 27，即 p 2(1 p) 2 1 3 2 2 3 2，解得 p 1 3或 p2 3. 答案： 1 3或 2 3 5甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是 2 3和 3 4，假设两人射击是否击中目标， 相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响 (1) 求甲射击4 次，至少1 次未击中目标的概率； (2) 求两人各射击4 次，甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标3 次的概率 解：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A，B”，则P(A) 2 3， P(B) 3 4. (1) 甲射击 4 次，全击中目标的概率为 C 4 4 2 3 4 1 2 3 0 2 3 416 81. 所以甲射击4 次至少 1 次未击中目标的概率为 1 16 81 65 81. (2) 甲、乙各射击4 次，甲恰好击中2 次，概率为 C 2 4 2 3 4 12 3 26 2 3 2 1 3 28 27. 乙恰好击中3 次，概率为C 3 4 3 4 3 13 4 127 64. 故所求概率为 8 27 27 64 1 8. 8 一、选择题 1某学生参加一次选拔考试，有5 道题，每题10 分已知他解题的正确率为 3 5，若 40 分为最低分数线，则该生被选中的概率是( ) AC 4 5 3 5 42 5 BC 5 5 3 5 5 CC 4 5 3 5 42 5C 5 5 3 5 5 D1C 3 5 3 5 3 2 5 2 解析：选 C 该生被选中包括“该生做对4 道题”和“该生做对5 道题”两种情形 故所求概率为PC 4 5 3 5 42 5C 5 5 3 5 5. 2一位国王的铸币大臣在每箱100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊， 他用两种方法来检测：方法一，