第 1 页，共 19 页 高二（上）期中数学试卷（理科）高二（上）期中数学试卷（理科） 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 复数 = 1 + 1 + 1在复平面内，z 所对应的点在() A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 如图是导函数 = ()的图象，那么函数 = ()在下面哪个区间是减函数( ) A. (1,3)B. (2,4)C. (4,6)D. (5,6) 3. 有一段“三段论”推理是这样的 ： 对于可导函数()，如果(0) = 0，那么 =0 是函数()的极值点，因为函数() = 3在 = 0处的导数值(0) = 0，所以， = 0是函数() = 3的极值点以上推理中() A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确 4. 9 件产品中，有 4 件一等品，3 件二等品，2 件三等品，现在要从中抽出 4 件产品 来检查，至少有两件一等品的抽取方法是() A. 24 2 5B. 24 + 3 4 + 4 4 C. 24 + 2 5D. 24 2 5 + 3 4 1 5 + 4 4 0 5 5. (1)5+(1)6+(1)7+(1 + )8的展开式中，含3的项的系数() 第 2 页，共 19 页 A. 9B. 121C. 74D. 121 6. 函数() = 32 + 2在 = 1处有极值 10，则点(,)为( ) A. (3,3)B. (4,11) C. (3,3)或(4,11)D. 不存在 7. 随机变量服从二项分布(,)，且 = 300， = 200，则 p 等于() A. 2 3 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 2 8. 2 0(3 2+ ) = 10,则 = () A. 1B. 2C. 3D. 4 9. 函数() = 3329 + 4，若函数() = ()在 2,5上有 3 个零点， 则 m 的取值范围为() A. (23,9)B. (23,2C. 2,9D. 2,9) 10.从 5 名志愿者中选出 4 人分别到,四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不 能到,二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有() A. 120 种B. 24 种C. 18 种D. 36 种 11.曲线 = ， = 和直线 = 1围成的图形面积是() A. 1B. + 1C. 12D. + 12 12.已知函数() = 3+2+ + 在区间1,2上是减函数，那么 + () A. 有最大值 15 2 B. 有最大值 15 2 C. 有最小值 15 2 D. 有最小值 15 2 二、填空题（本大题共 3 小题，共 15.0 分） 13.随机变量服从正态分布(40,2)， 若( 30) = 0.2， 则(30 50) = _ 14.曲线 = ln(21)上的点到直线2 + 8 = 0的最短距离是_ 第 3 页，共 19 页 15.一同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆，表示实心圆 )若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列 的圆，那么前 2019 个圆中有实心圆的个数为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 75.0 分） 16.甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑 球， 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以1，2和3表示由甲罐取出的球是 红球，白球和黑球的事件 ； 再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是 红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号) () = 2 5； (|1) = 5 11； 事件 B 与事件1相互独立； 1，2，3是两两互斥的事件； ()的值不能确定，因为它与1，2，3中究竟哪一个发生有关 17.已知1= 1， + 1= + 1， (1)求2，3，4的值； (2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明 第 4 页，共 19 页 18.用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数 ()在组成的三位数中，求所有偶数的个数； ()在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小， 则称这个数为“凹数”，如 301，423 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； ()在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个 数 19.在某校组织的高二女子排球比赛中，有 A、B 两个球队进入决赛，决赛采用 7 局 4 胜制假设 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是 1 2.并记需要比赛的场数为 ()求大于 4 的概率； ()求的分布列与数学期望 20.已知函数() = ln( + 1) + 1 (1)求()的单调区间； (2)求曲线 = ()在点(1,(1)处的切线方程； 第 5 页，共 19 页 (3)求证：对任意的正数 a 与 b，恒有lnln 1 21.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块 地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： 作物产量 () 300500 概率0.50.5 作物市场价格 (元/) 610 概率0.40.6 ()设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列； ()若在这块地上连续 3 季种植此作物， 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率 22. 已知函数() = (2)+(1)2 ()讨论()的单调性； 第 6 页，共 19 页 ()若()有两个零点，求 a 的取值范围 第 7 页，共 19 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解： = 1 + 1 + 1 = (1)(1) (1 + )(1)1 = 2 21 = 1 = 1 + .1 0，故 z 所对应的点在第二象限 故选：B 计算复数 z，求出它的代数形式，看它的实部和虚部的正负，即可判定 z 所对应的点在 第几象限 复数和复平面上的点是一一对应的，准确计算是准确判定的前提，本题是基础题 2.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查函数单调性的判断， 根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键 根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论 【解答】 解：若函数单调递减，则() 0， 由图象可知， (2,4)时，() 0解得 3或 1， 又 2,5， 故() = 3329 + 3在 (2,1)与(3,5)上是增函数，在 (1,3)上是减函数， = 2，1，3，5 时，函数值对 应为 2，9，23，9， 其图象如图，可得2 9， 故选：D 函数() = ()在 2,5上有3个零点， 可转化为函数() = 3329 + 4， 与 = 两个函数的图象有三个交点，通过求解函数的单调性与极值，结合研究出函数 的图象的特征，由图象求出 m 的取值范围即可 本题考查根的存在性及根的个数的判断，正确解答本题，关键是将函数有零点的问题转 化为两个函数有交点的问题， 此转化的好处是转化后的两个函数的中有一个函数是确定 的，实现了由不定到定的转化变，方便了研究问题，即求参数的范围熟练利用导数研 究函数的单调性也是解本题的关键， 第 11 页，共 19 页 10.【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，分两种情况讨论：、甲、乙中只有 1 人被选中，、甲、乙两人都被选 中，根据分类计数原理可得 本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，分类讨论，属于中档题 【解答】 解：根据题意，分两种情况讨论： 、甲、乙中只有 1 人被选中，需要从甲、乙中选出 1 人，到 C，D 中的一个部门，由 其他三人到剩余的部门，有1 2 1 2 3 3= 24种选派方案 、甲、乙两人都被选中，安排到，C，D 部门，从其他三人中选出 2 人，到剩余的部 门，有2 2 2 3= 12种选派方案， 综上可得，共有24 + 12 = 36中不同的选派方案， 故选 D 11.【答案】D 【解析】解：曲线 = ， = 和直线 = 1围 成的图形面积， 就是：1 0 ( ) = (+ )|1 0 = + 12 故选：D 由题意可知曲线 = ， = 和直线 = 1围成 的图形面积是积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可 本题考查函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是封闭图形的面积就是上部 函数减去下部函数的积分 12.【答案】B 【解析】解：由()在1,2上是减函数，知 () = 32+2 + 0， 1,2， 第 12 页，共 19 页 则(1) = 32 + 0 (2) = 12 + 4 + 0 15 + 2 + 2 0 + 15 2 故选：B 先对函数()求导，然后令导数在1,2小于等于 0 即可求出 + 的关系，得到答案 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系， 即导函数大于 0 时原函 数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减 13.【答案】0.6 【解析】 【分析】 根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是 = 40，且( 50) = ( 30) = 0.2， 所以(30 50) + ( 30) = 10.4 = 0.6 故答案为：0.6 14.【答案】2 5 【解析】解： 曲线 = ln(21)， = 2 21，分析知直线2 + 8 = 0与曲线 = ln(21)相切的点到直线 2 + 8 = 0的距离最短， 2 21= 2，解得 = 1，把 = 1代入 = ln(21)， = 0， 点(1,0)到直线2 + 8 = 0的距离最短， = |2 + 8| 4 + 1= 105 5 = 2 5， 故答案为2 5 对曲线 = ln(21)进行求导，令 = 2，解出这个点，再根据点到直线的距离进行求 解； 第 13 页，共 19 页 此题主要利用导数研究曲线上某点的切线方程，还考查点到直线的距离，此题是一道基 础题； 15.【答案】62 【解析】解： = 1时，圆的总个数是 2； = 2时，圆的总个数是 5，即5 = 2 + 3； = 3时，圆的总个数是 9，即9 = 2 + 3 + 4； = 4时，圆的总个数是 14，即14 = 2 + 3 + 4 + 5； ； = 时，圆的总个数是2 + 3 + 4 + + ( + 1) 2 + 3 + 4 + + 63 = 2015 2019， 在前 2019 个圆中，共有 62 个实心圆 故答案为：62 本题可依次解出空心圆个数 = 1，2，3，圆的总个数再根据规律，可得出前 2019 个圆中，实心圆的个数 本题主要考查归纳推理，解答关键是从圆的个数的变化规律中寻求规律，后建立数列模 型解决问题 16.【答案】 【解析】解 ： 由题意1，2，3是两两互斥的事件，(1) = 5 10= 1 2，(2) = 2 10= 1 5，( 3) = 3 10； (|1) = (1) (1) = 1 2 5 11 1 2 = 5 11，由此知，正确； (|2) = 4 11，(|3) = 4 11； 而() = (1) + (2) + (3) = (1)(|1) + (2)(|2) + (3)(| 3) = 1 2 5 11+ 1 5 4 11+ 3 10 4 11= 9 22 由此知不正确； 1，2，3是两两互斥的事件，由此知正确； 对照四个命题知正确； 故正确的结论为： 第 14 页，共 19 页 故答案为： 由题意1，2，3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出(|1)，() = (1 ) + (2) + (3)，对照五个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项 本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立 事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理