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3.4 实际问题与一元一次方程 5 分钟训练 ( 预习类训练,可用于课前) 1. 某人以 8 折的优惠价买了一套服装省了25 元,那么买这套服装实际用了() A.31.25 B.60 C.125 D.100 思路解析: 设这套服装原价为x 元,则 x-0.8x=25 ,解得 x=125. 所以实际用了125-25=100 元. 答案 : D 2. 一个商店把彩电按标价的九折出售,仍可获利20% ,若该彩电的进价是2 400 元,则彩电 标价是() A.3 200元 B.3 429元 C.2 667元 D.3 168元 思路解析: 设标价为x,根据题意有0.9x=(1+0.2)2 400 ,解得 x=3 200. 答案 : A 3. 球队训练用的足球是由32 块黑白相间的牛皮缝制而成的,其中黑皮可看作正五边形,白 皮可看作正六边形,黑、白皮块的数目比为35,要求出黑皮、白皮的块数,若设黑皮的 块数为 x,则列出的方程正确的是() A.3x=32 x B.3x=5(32x) C.5x=3(32x) D.6x=32x 思路解析: 因为黑、白皮块的数目比为35,若设黑皮的块数为x,则白皮块数为32-x , 由此得方程为5x=3(32-x). 答案 : C 10 分钟训练 ( 强化类训练,可用于课中) 1. 我国政府为解决老百姓看病难,决定下调药品价格,某种药品在2003 年涨价30% 后,年 降价 70% 调至 a 元,则这种药品在2003 年涨价前的价格为() A. 100 39 a 元 B. 39 100 a 元 C.a(140% )元 D. 140% a 元 思路解析: 设在 2003 年涨价前的价格为x 元,则有 (1+0.3)(1-0.7)x=a,解得 x= 100 39 a. 答案 : A 2. 某区中学生足球赛共赛8 轮(即每队均需参赛8 场) ,胜一场得3 分,平一场得1 分,负 一场得 0 分. 在这次足球联赛中,猛虎队踢平的场数是所负场数的2 倍,共得 17 分,该队共 胜多少场? 思路解析: 首先要利用一个未知数,表示胜、负、平的场数,再利用总分列出方程. 解: 设踢成负的场数是x,则踢平的场数是2x ,踢胜的场数是8-x-2x=8-3x,则有 2x+3(8-3x)=17,解得 x=1. 所以踢胜的场数为8-3=5 场 . 3. 一件夹克,按成本加5 成作为售价,后因季节关系,按售价的8 折出售,降价后每件卖 60 元,问这批夹克每件成本是多少元. 降价后每件是赔还是赚,赔或赚多少元?( 生活中处 处有数学,我们应当善于用数学的眼光去看世界,用数学的方法去分析和解决问题) 思路解析: 列表: 一件夹克成本降价前一件夹克售价降价后一件夹克售价 x 元(1+50%)x 元(1+50%)80%x元 解 : 设一件夹克的成本为x 元 ,根据题意有 (1 50%)x 80%=60,解得x=50. 所以 60-x=60-50=10( 元 ). 答: 一件夹克的成本为50 元,降价后每件仍可赚10 元. 4. 商场出售的A型冰箱每台售价2 190 元,每日耗电量为1 度,而 B型节能冰箱每台售价虽 比 A型冰箱高出10% ,但每日耗电量却为0.55 度. 商场如果将A型冰箱打9 折出售 (打一折 后的售价为原价的 1 10 ) ,消费者购买合算吗?( 按使用期为10 每年 365 天,每度电0.40 元 计算 ) 若不合算,商场至少打几折,消费者购买才合算? 思路解析: 问题 1 可以通过计算出A型冰箱和B型节能冰箱10 年各自的费用来判断是否合 算,问题2 可以用方程来解. 解: A型 10 年费用: 2 190 9 10 3651010.4=3 431( 元 ) , B型 10 年费用: 2 190 (1 10%)36510 0.55 0.4=3 212(元) , 所以消费者购买A型冰箱不合算 . 设商场打x 折消费者购买才合算,根据题意,得2 190 x 3651010.4=3 212. 解得 x=0.8. 所以,商场至少打8 折,消费者购买才合算. 快乐时光 都有名字了 在一家工厂, 我那位朋友正在有条不紊地指挥生产,稀疏的头发想方设法地覆盖在脑袋 上. “你已经使之成为一门科学了.”我赞叹道 .“每一根头发都做了安排. ” “是啊,”朋友苦 笑着说,“过去它们只有一个总数,可现在它们都有自己的名字了. ” 30 分钟训练 ( 巩固类训练,可用于课后) 1. 某商场同时卖出两件上衣,每件都以135 元卖出,若按成本计算,其中一件赢利25% ,另 一件亏损25% ,问这次卖出的两件上衣是赔了还是赚了. 思路解析: 要求出两件上衣的进价,可分别根据售出的价格求出. 解: 设两件上衣的成本分别为x、y 元,根据题意,得(1+25% )x=135, (1-25%)y=135. 分别解这两个方程,得x=108,y=180.108+180=288 270. 答: 所以这次出售是亏损,并且亏损了18 元. 2. 在社会实践活动中,某校甲、 乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、 四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车量数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况 如下: 甲同学说:“二环路车流量为每小时10 000 辆. ” 乙同学说:“四环路比三环路车流量每小时多2 000 辆. ” 丙同学说:“三环路车流量的3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2 倍. ” 请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少. 思路解析: 此题关键在于理解题意,抽象出数学式子. 解: 设三环路的流量为每小时x (辆) , 则四环路的流量为每小时2 000 x (辆) ,3x-2 000-x=20 000,解得 x=11 000, 所以高峰时车流量为三环路11 000 辆,四环路13 000 辆 . 3. 随着科技的进步,高科技产品的成本价在降低. 某种品牌的电脑成本降低8% ,而零售价不 变,那么利润将由目前的x% 增加到( x+10)% ,求 x 的值 . 思路解析: 题目中没有成本价,而解题时要用到成本价,故可设成本价为a (或设为单位1) . 解: 设成本价为a,则原售价为a(1+ 100 x ) ,成本降低8% 后新成本为a(1-8%) ,根据售价 不变,利润增加到(x+10)% ,有 a(1-8%) 1+(x+10)% =a(1+ 100 x ) ,解得 x=15. 4. 某工业园区用于甲、乙两个不同项目的投资共2 000 万元 . 甲项目的年收益率为5.4%,乙 项目的年收益率为8.28%,该工业园区仅以上两个项目可获得收益1 224 000元 . 问该工业 园区对两个项目的投资各是多少万元. 思路解析: 本题可采用间接设未知数法,抓住相等关系:“甲项目的收益+乙项目的收益=总 收益”列方程 . 解: 设对甲项目投资为x 万元,则对乙项目投资为(2 000-x)万元 . 根据题意,得5.4%x+8.28%(2 000-x)=122.4.解得 x=1 500. 从而 2 000-x=2 000-1 500=500. 答: 该工业园区对甲项目投资为1 500 万元,对乙项目投资为500 万元 . 5. 某牛奶加工厂现有鲜奶9 吨,若在市场直接销售鲜奶,每吨可获取利润500 元;制成酸奶 销售, 每吨可获利1 200元;制成奶片销售,每吨可获利2 000 元, 该加工厂的生产能力是: 如制成酸奶,每天可加工3 吨,制成奶片, 每天可加工1 吨,受条件限制两种加工方式不可 同时进行, 受气温影响牛奶必须在4 天内销售或加工完毕,为此,该加工场设计了两种生产、 销售方案: 方案一:尽可能地制成奶片,其余直接销售鲜牛奶. 方案二:一部分制成奶片,其余全部加工成酸奶,并保证在四天内完成. 分别计算两种方案的利润,你认为哪种方案利润高? 思路解析: 方案一的利润易求. 方案二中必须先知4 天中用几天制奶片,用几天加工酸奶.故设用 x 天加工奶片, 则用(4-x ) 天加工酸奶,依题意有1x+3 (4-x )=9. x=1.5. 此时利润可求. 答案 : 方案二获得利润高些. 6. 江苏宿迁模拟某公司有2 位股东, 20 名工人 . 从 2000 年至 2002 公司每年股东的总利润 和每年工人的工资总额如图3-4-1 所示 . 图 3-4-1 (1) 填写下表: 年份2000 年2001 年2002 年 工人的平均工资( 元) 5 000 股东的平均利润( 元) 25 000 (2) 假设在以后的若干年中,每年工人的工资和股东的利润都按上图中的速度增长,那么到 哪一股东的平均利润是工人的平均工资的8 倍? 思路解析: (1) 直接由图可填. (2) 由图可知:每位工人年平均工资增长1 250 元,每位股东年平均利润增长12 500 元,设 经过 x 年每位股东年平均利润是每位工人年平均工资的8 倍. 股东的平均利润为25 000 12 500 x,每位工人年平均工资为5 0001 250 x,由题意可得方程(5 0001 250 x) 8=25 000 12 500 x ,解出即可 . 答案 : (1) 年份2000 年2001 年2002 年 工人的平均工资( 元) 5 000 6 250 7 500 股东的平均利润( 元) 25 000 37 500 50 000 (2) 设经过 x 年每位股东年平均利润是每位工人年平均工资的8 倍. 由图可知:每位工人年平 均工资增长1 250 元,每位股东年平均利润增长12 500 元,所以 (5 000 1 250 x) 8=25 000 12 500 x. 解得 x=6. 答: 到 2010 年每位股东年平均利润是每位工人年平均工资的8 倍. 7. 北京模拟夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆 先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1 ,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27 度; 再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1 后的节电量的 1.1 倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电405 度. 求只将温度调高1 后 两种空调每天各节电多少度. 思路解析: 本题文字比较多,条件也比较多,要注意抓主要问题,即“两种空调每天共节电 405 度” , 如果设只将温度调高1 后,乙种空调每天节电x 度,则甲种空调每天节电(x+27) 度. 这样可得方程1.1x+x+27=405 ,解出即可 . 解: 设只将温度调高1 后,乙种空调每天节电x 度, 则甲种空调每天节电(x+27) 度. 依题意,得1.1x+x+27=405. 解得 x=180, x+27=207. 答: 只将温度调高1 后,甲种空调每天节电207 度,乙种空调每天节电180 度.
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