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1 圆的知识点总结圆的知识点总结 (一)圆的有关性质(一)圆的有关性质 知识归纳知识归纳 1. 圆的有关概念: 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接 圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接 圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 4. 垂直于弦的直径 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论 1 推论 1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个 : 过圆心 ; 垂直于弦 ; 平分弦(不是直径) ; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个 : 过圆心 ; 垂直于弦 ; 平分弦(不是直径) ; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。 2 推论 2 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的 弦心距相等。 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的 弦心距相等。 推论 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推 出另外三个:两个圆心角相等;两个圆心角所对的弧相等;两个圆心 角或两条弧所对的弦相等;两条弦的弦心距相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推 出另外三个:两个圆心角相等;两个圆心角所对的弧相等;两个圆心 角或两条弧所对的弦相等;两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 6. 圆周角 定理 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论 1 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等; 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等; 推论 2 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径; 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径; 推论 3 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 8. 轨迹 8. 轨迹 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径 的圆; (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径 的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;(2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; (3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。(3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 例题分析例题分析 例 1. 已知:如图 1,在O 中,半径 OM弦 AB 于点 N。 例 1. 已知:如图 1,在O 中,半径 OM弦 AB 于点 N。 图 1图 1 若 AB 若 AB,ON1,求 MN 的长;,ON1,求 MN 的长; 若半径 OMR,AOB120,求 MN 的长。 若半径 OMR,AOB120,求 MN 的长。 解:AB 解:AB,半径 OMAB, ANBN,半径 OMAB, ANBN ON1,由勾股定理得 OA2 ON1,由勾股定理得 OA2 MNOMONOAON1 MNOMONOAON1 半径 OMAB,且AOB120 AOM60 半径 OMAB,且AOB120 AOM60 3 ONOAcosAONOMcos60 ONOAcosAONOMcos60 说明 : 如图 1,一般地,若AOB2n,OMAB 于 N,AOR,ONh,则 AB2Rsin n2htan n 说明 : 如图 1,一般地,若AOB2n,OMAB 于 N,AOR,ONh,则 AB2Rsin n2htan n 例 2. 已知:如图 2,在ABC 中,ACB90,B25,以点 C 为圆心、AC 为半 径作C,交 AB 于点 D,求 例 2. 已知:如图 2,在ABC 中,ACB90,B25,以点 C 为圆心、AC 为半 径作C,交 AB 于点 D,求的度数。的度数。 图 2图 2 分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之 间还存在着和、差、倍、半的关系,因此这道题有很多解法,仅选几种供参考。 分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之 间还存在着和、差、倍、半的关系,因此这道题有很多解法,仅选几种供参考。 解法一:(用垂径定理求)如图 21,过点 C 作 CEAB 于点 E,交解法一:(用垂径定理求)如图 21,过点 C 作 CEAB 于点 E,交于点 F。于点 F。 图 21图 21 又ACB90,B25,FCA25 又ACB90,B25,FCA25 的度数为 25,的度数为 25,的度数为 50。的度数为 50。 解法二:(用圆周角求)如图 22,延长 AC 交C 于点 E,连结 ED 解法二:(用圆周角求)如图 22,延长 AC 交C 于点 E,连结 ED 4 图 22图 22 AE 是直径,ADE90 AE 是直径,ADE90 ACB90,B25,EB25 ACB90,B25,EB25 的度数为 50。的度数为 50。 解法三:(用圆心角求)如图 23,连结 CD 解法三:(用圆心角求)如图 23,连结 CD 图 23图 23 ACB90,B25,A65 ACB90,B25,A65 CACD,ADCA65 CACD,ADCA65 ACD50, ACD50,的度数为 50。的度数为 50。 例 3. 已知:如图 3,ABC 内接于O 且 ABAC,O 的半径等于 6cm,O 点到 BC 的距 离 OD 等于 2cm,求 AB 的长。 例 3. 已知:如图 3,ABC 内接于O 且 ABAC,O 的半径等于 6cm,O 点到 BC 的距 离 OD 等于 2cm,求 AB 的长。 析:因为不知道A 是锐角还是钝角,因此圆心有可能在三角形内部,还可能在三角形 外部,所以需分两种情况进行讨论。 析:因为不知道A 是锐角还是钝角,因此圆心有可能在三角形内部,还可能在三角形 外部,所以需分两种情况进行讨论。 略解:(1)假若A 是锐角,ABC 是锐角三角形。如图 3,由 ABAC,可知点 A 是优 弧 略解:(1)假若A 是锐角,ABC 是锐角三角形。如图 3,由 ABAC,可知点 A 是优 弧的中点, 因为 ODBC 且 ABAC, 根据垂径定理推论可知, DO 的延长线必过点 A, 连结 BO的中点, 因为 ODBC 且 ABAC, 根据垂径定理推论可知, DO 的延长线必过点 A, 连结 BO BO6,OD2 BO6,OD2 在 RtADB 中,ADDOAO628 在 RtADB 中,ADDOAO628 图 3 图 31 图 3 图 31 (2)若A 是钝角,则ABC 是钝角三角形,如图 31 添加辅助线及求出(2)若A 是钝角,则ABC 是钝角三角形,如图 31 添加辅助线及求出, 在 RtADB 中,ADAODO624 , 在 RtADB 中,ADAODO624 ABAB 5 综上所述 AB综上所述 AB 小结:凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三 角形的位置关系,防止丢解或多解。 小结:凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三 角形的位置关系,防止丢解或多解。 例 4. 已知:如图 4,AB 是O 的直径,弦 CDAB,F 是 CD 延长线上一点,AF 交O 于 E。求证:AEEFECED 例 4. 已知:如图 4,AB 是O 的直径,弦 CDAB,F 是 CD 延长线上一点,AF 交O 于 E。求证:AEEFECED 图 4图 4 分析 : 求证的等积式 AEEFECED 中, 有两条线段 EF、 ED 在EDF 中, 另两条线段 AE、 EC 没有在同一三角形中,欲将其置于三角形中,只要添加辅助线 AC,设法证明FEDCEA 即 可。 分析 : 求证的等积式 AEEFECED 中, 有两条线段 EF、 ED 在EDF 中, 另两条线段 AE、 EC 没有在同一三角形中,欲将其置于三角形中,只要添加辅助线 AC,设法证明FEDCEA 即 可。 证明:连结 AC证明:连结 AC 四边形 DEAC 内接于圆 四边形 DEAC 内接于圆 FDECAE,FEDDCA FDECAE,FEDDCA 直径 ABCD, 直径 ABCD, DCACEA,FEDCEA DCACEA,FEDCEA FEDCEA FEDCEA ,AEEFECED,AEEFECED 小结:四边形内接于圆
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