北师大版初中数学定理知识点汇总九年级(上册) 北师大版初中数学定理知识点汇总九年级(上册) 第一章 证明(二)第一章 证明(二) 等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形 分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于 30，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。 如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： 勾股定理：（注意区分斜边与直角边） 222 cba 在直角三角形中，如有一个内角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） 垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。 （注意着重号的意义） 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上。 三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。 （如图 1 所 示，AO=BO=CO） 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线逆定理 ： 在角内部的， 如果一点到角两边的距离相等， 则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 A C B O 图 1 图 2 O A C B D E F (如图 2 所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程第二章 一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c 为0 2 cbxax 常数，a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 把（a、b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二0 2 cbxax 次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 解一元二次方程的方法：配方法 0)( 2 mx 公式法 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式） a acbb x 2 4 2 分解因式法 把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求 解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘” ） 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式； 将二次项系数化成 1； 把常数项移到方程的右边； 两边加上一次项系数的一半的平方； 把方程转化成的形式；0)( 2 mx 两边开方求其根。 根与系数的关系：当 b2-4ac0 时，方程有两个不等的实数根； 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2-4ac0 时，方程无实数根。 如 果 一 元 二 次 方 程的 两 根 分 别 为 x1、 x2， 则 有 ：0 2 cbxax 。 a c xx a b xx 2121 一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根 x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式： 21 2 21 2 2 2 1 2)(xxxxxx 21 21 21 11 xx xx xx 21 2 21 2 21 4)()(xxxxxx 21 2 2121 4)(|xxxxxx |22)(|)|(| 2121 2 21 2 21 xxxxxxxx 其他能用或表达的代数式。)(3)( 2121 3 21 3 2 3 1 xxxxxxxx 21 xx 21x x （3）已知方程的两根 x1、x2，可以构造一元二次方程：0)( 212 2 1 xxxxxx （4）已知两数 x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根0)( 212 2 1 xxxxxx 在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多 数情况只要设问题为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑） ； 寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话 即可根据其列出方程） 。 处理问题的过程可以进一步概括为： 解答 检验 求解 方程 抽象 分析 问题 第三章 证明（三）第三章 证明（三） 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平 行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对 角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任 意两点到另一条直线的距离相等。这个距离 称为平行线之间的距离。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相 垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。 （矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （正方形是轴对称 图形，有两条对称轴） 正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图 3 所示)： 梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分） 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直 一个内角为直角 （或对角线相等） 鹏翔教图 3 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 夹在两条平行线间的平行线段相等。 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 第四章 视图与投影第四章 视图与投影 三视图包括：主视图、俯视图和左视图。 三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方， 左视图要画在正视图的右边。 主视图：基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象 左视图：基本可认为从物体左面视得的图象 视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合 线框一定不在一个平面上。 在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的 各个小的平面体（或曲面体） 。 在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚 线。 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。 太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称 为中心投影。 区分平行投影和中心投影：观察光源；观察影子。 眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。 从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。 点在一个平面上的投影仍是一个点； 线段在一个面上的投影可分为三种情况： 线段垂直于投影面时，投影为一点； 线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度； 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。 平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况： 平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状； 平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段； 平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。 第五章 反比例函数第五章 反比例函数 反比例函数的概念：一般地，（k 为常数，k0）叫做反比例函数，即 y 是 x x k y 的反比例函数。 （x 为自变量，y 为因变量，其中 x 不能为零） 反比例函数的等价形式：y 是 x 的反比例函数 )0( k x k y 变量 y 与 x 成反比例，比例系数为 k.)0( 1 kkxy)0( kkxy 判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：按照反比例函数的定义判断； 看两个变量的乘积是否为定值。 （通常第二种方法更适用）kxy 反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线 反比例函数的画法的注意事项：反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能 画的； 选取的点越多画的图越准确； 画图注意其美观性（对称性、延伸特征） 。 反比例函数性质： 当 k0 时，双曲线的两支分别位于一、三象限 ； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 ； 当 k0）或向左（h0）或向下（k0，则当 x时，y 随 x 的 a b 2 a b 2 增大而增大。 若 a0，则当 x时，y 随 x 的 a b 2 a b 2 增大而减小。 最值：若 a0，则当 x=时，；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；acb4 2 =0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；acb4 2 0 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；acb4 2 当0 时，设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，则这两个点之间的距离：acb4 2 21 2 21 2 122 4)()(| 1 xxxxxxxxAB 化简后即为 ： - 这就是抛物线与x轴的两交点之间)04( | 4 | 2 2 acb a acb AB 的距离公式。 第三章 圆第三章 圆 一. 车轮为什么做成圆形 1. 圆的定义： 描述性定义 ： 在一个平面内， 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做 半径；以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“圆 O” 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定 长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确 定的圆叫做定圆。 对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面； 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径 （即定长）。 2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几 个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性: 1. 与圆相关的概念： 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弧、半圆、优弧、劣弧： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以 CD 为 端点的弧记为“” ，读作“圆弧 CD”或“弧 CD” 。 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 圆心角：顶点在圆心的角叫做