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第- 1 -页 共 31 页 二次函数知识点 一、基本概念: 1二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 2 yaxbxcabc,0a 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零二次函数的定义域是0a bc, 全体实数 2. 二次函数的结构特征: 2 yaxbxc 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是 2xx 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项abc,abc 二、基本形式 1. 二次函数基本形式:的性质: 2 yax a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 的性质:(上加下减) 2 yaxc 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 00,轴y 时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x y 随的增大而减小;时,有最小值x0 x y0 0a 向下 00,轴y 时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x y 随的增大而增大;时,有最大值x0 x y0 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0c,轴y 时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x y 随的增大而减小;时,有最小值x0 x yc 0a 向下 0c,轴y 时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x y 随的增大而增大;时,有最大值x0 x yc 第- 2 -页 共 31 页 3. 的性质:(左加右减) 2 ya xh 4. 的性质: 2 ya xhk 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法 1: 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; 2 ya xhkhk, 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: 2 yaxhk, 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,hk 上加下减” 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0h, X=h 时,随的增大而增大;时,xhyxxhy 随的增大而减小;时,有最小值xxhy0 0a 向下 0h, X=h 时,随的增大而减小;时,xhyxxhy 随的增大而增大;时,有最大值xxhy0 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk, X=h 时,随的增大而增大;时,xhyxxhy 随的增大而减小;时,有最小值xxhyk 0a 向下 hk, X=h 时,随的增大而减小;时,xhyxxhy 随的增大而增大;时,有最大值xxhyk 第- 3 -页 共 31 页 方法 2: 沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 (或)mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 (或)cmxbmxay)()( 2 cmxbmxay)()( 2 四、二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 2 ya xhk 2 yaxbxc 前者,即,其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa , 五、二次函数图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 : 利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开 2 yaxbxc 2 ()ya xhk 口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点 为 : 顶点、 与轴的交点、 以及关于对称轴对称的点、 与 轴的交点,y0c,0c,2hc,x 1 0 x , (若与 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 2 0 x ,x 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与轴的交点.xy 六、二次函数的性质 2 yaxbxc 1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa , 当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 最小值 2 4 4 acb a 2. 当时, 抛物线开口向下, 对称轴为, 顶点坐标为 当时,0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa , 2 b x a y 随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值x 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:(,为常数,) ; 2 yaxbxcabc0a 2. 顶点式:(,为常数,) ; 2 ()ya xhkahk0a 3. 两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标). 12 ()()ya xxxx0a 1 x 2 xx 第- 4 -页 共 31 页 注意 : 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数x 2 40bac 解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数中,作为二次项系数,显然 2 yaxbxca0a 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;0a aa 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大0a aa 总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的aaa 大小 2. 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下,0a 当时,即抛物线的对称轴在轴左侧;0b 0 2 b a y 当时,即抛物线的对称轴就是轴;0b 0 2 b a y 当时,即抛物线对称轴在轴的右侧0b 0 2 b a y 在的前提下,结论刚好与上述相反,即0a 当时,即抛物线的对称轴在轴右侧;0b 0 2 b a y 当时,即抛物线的对称轴就是轴;0b 0 2 b a y 当时,即抛物线对称轴在轴的左侧0b 0 2 b a y 总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就ab a b x 2 y0aby0ab 是“左同右异” 总结: 3. 常数项c 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;0c yxy 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;0c yy0 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的abc, 第- 5 -页 共 31 页 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称x 关于轴对称后,得到的解析式是; 2 yaxbxcx 2 yaxbxc 关于轴对称后,得到的解析式是; 2 ya xhkx 2 ya xhk 2. 关于轴对称y 关于轴对称后,得到的解析式是; 2 yaxbxcy 2 yaxbxc 关于轴对称后,得到的解析式是; 2 ya xhky 2 ya xhk 3. 关于原点对称 关于原点对称后,得到的解析式是; 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后,得到的解析式是; 2 ya xhk 2 ya xhk 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180) 关于顶点对称后,得到的解析式是; 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后,得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5. 关于点对称 mn, 关于点对称后,得到的解析式是 2 ya xhkmn, 2 22ya xhmnk 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不a 变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上 是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐 标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式 第- 6 -页 共 31 页 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 轴交点情况):x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 2 0axbxc 2 yaxbxc0y 图象与 轴的交点个数:x 当时, 图象与 轴交于两点, 其中的是一元二 2 40bac x 12 00A xB x, , 12 ()xx 12 xx, 次方程的两根这两点间的距离. 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时,图象与 轴只有一个交点; 0 x 当时,图象与 轴没有交点.0 x 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;10a xx0y 当 时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有 20a xx0y 2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,; 2 yaxbxcy(0)c 3. 二次函数常用解题方法总结: 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;x 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 根据图象的位置判断二次函数中,的符号,或由二次函数中,的 2 yaxbxcabcabc 符号判断图象的位置,要数形结合; 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴x 的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函 2 (0)axbxc ax 数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:0a 0 抛物线与轴有x 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与轴只x 有一个交点 二次三项式的值为非 负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与轴无x 交点 二次三项式的值恒为 正 一元二次方程无实数根. 第- 7 -页 共 31 页 二次函数考查重点与常见题型 1考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点, 则的值是 x2)2( 22 mmxmym 2综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大致是bkxy1 2 bxkxy ( ) y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题 和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。 3 5 x 4考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 已知抛物线(a0)与 x
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