整式的乘除与因式分解 一、基础知识 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一 个数或一个字母也是单项式。 单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指 数和叫单项式的次数。 如：bca 2 2的 系数为2，次数为 4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的 项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：12 2 xaba，项有 2 a、ab2、x、1，二次项为 2 a、ab2，一次项为x， 常数项为 1，各项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四 项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、同底数幂的乘法法则： nmnm aaa（nm,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 5、幂的乘方法则： mnnm aa )(（nm,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmn aaa)()( 6、积的乘方法则： nnn baab)(（n是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 7、同底数幂的除法法则： nmnm aaa（nma,0都是正整数， 且)nm 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 8、零指数和负指数； 1 0 a，即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1 （pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p 次方等于这个数 的p次方的倒数。 9、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分 别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 因式。 注意： 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 10、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加， 即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式 ) 注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 11、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘， 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所 的的积相加。 12、平方差公式： 22 )(bababa 公式特征：左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同， 另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 13、完全平方公式： 222 2)(bababa 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左 边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。 注意： abbaabbaba2)(2)( 2222 abbaba4)()( 22 222 )()()(bababa 222 )()()(bababa 14、单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 15、多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的 的商相加。 即：()ambmcmmammbmmcmmabc 16 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解。 1、 提公因式法 . ：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、 ma+mb+mc=m(a+b+c)（m可以表示单项式，也可以表示多项式） 2、 运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式 分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b) ； (2) (ab) 2 = a22ab+b2 a 22ab+b2=(ab)2； 3、分组分解法 (1) 分组后能直接提公因式 bnbmanam=m （a+b）+n(a+b)=(a+b)(m+n) (2) 分组后能直接运用公式 ayaxyx 22 =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a) 4、十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式 直接利用公式)()( 2 qxpxpqxqpx进行分解。 特点： （1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 凡是能十字相乘的二次三项式 ax 2+bx+c，都要求 2 4bac 0 而且是 一个完全平方数。 ( 二) 二次项系数不为 1 的二次三项式cbxax 2 条件： （1） 21a aa 1 a 1 c （2） 21c cc 2 a 2 c （3） 1221 cacab 1221 cacab 分解结果：cbxax 2 =)( 2211 cxacxa 一、基础知识梳理（课前完成） （一）整式的乘除 1幂的运算性质 （1）._. .nm aa（m，n都是正整数） 。例：_. 32 aa。 （2）._ n ab（n为正整数）。例：_ 3 ab。 （3）. _ n m a（m，n都是正整数） 。例：_ 3 2 a。 （ 4 ） . _ .nm aa（0a，m，n都 是 正 整 数 ， 并 且nm）。 例 ： _ 23 aa。 （5）._ 0 a（0a）（6）. _ n a（0a，n是正整数） 2整式的乘法： （1）单项式乘以单项式：_3.6 2 xyx。 （2）单项式乘以多项式：_2 22 xyyx。 （3）多项式乘以多项式：_432yxyx。 3. 整式的除法： （1）单项式除法：_26 3 xx。 （2）多项式除以单项式：_448 2 xxyx。 （二）因式分解 1分解因式的概念 （1）. 分解因式：把一个多项式化成几个_的形式。 （2）. 分解因式与整式乘法的关系： 2分解因式的基本方法： （1）. 提公因式法：_mcmbma。 （2） 运用公式法： （ 1 ）平 方 差 公式 ：_ 22 ba；（2 ） 完全 平 方 公式 ： _2 22 baba。 二、基础诊断题10 1. 计 算 3 4 a的 结 果 是 （） A 7 aB 12 aC 16 aD 64 a 2. 计 算 ：_5.3 22 baab，_39 23 xx。 3. 计 算 ：_1 4 1 .2 3 aa，_2baba。 4. 计 算 ：_11 xx，_3 2 a。 5 计 算 ：_3693 23 xxxx。 6. 下列从左到右的变形是因式分解的是（） A.baba 33 22 B . 62104 22 xxx C. 933 2 aaa D. 22 396xxx 7. 多 项 式 62 xx 提 取 公 因 式 2 x后 的 另 一 个 因 式 是 （） A 4 x B. 3 x C.1 4 x D. 1 3 x 8. 分 解 因 式 ：_16 2 x；_96 2 xx。 9. 单 项 式 22 8ba， 3 12ab， 22 6ba的 公 因 式 是 _. 10. 分 解 因 式 ：_33 2 xx。 三、典型例题 例 1. 先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 2 2bababab， 其 中 3a， 2 1 b。 例 2分解因式：_ 3 aa；_242 2 xx。 例 3. （ 1） 已 知2ba，1ab， 则 22 abba的 值 为 _ 。 （ 2） 若12nm， 则_44 22 nmnm。 四、达标检测题 （一）基础检测9 1. 下 列 各 式 计 算 正 确 的 是 （） A 9 2 7 aa B. 1427 .aaa C. 532 532aaa D. 333 baab 2. 下列运算正确的是（） A 842. aaaB.632 2 xxxC.42 22 xxD. aaa532 3. 若 21 32793 mm ，则m的值是（） A3 B.4 C.5 D. 6 4. 分解因式： 22 9xy_32 2 xx_ 123 2 a_mmnmn96 2 _ 5. 若2a，3ba，则aba 2 6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ab） （如图甲） ，把余下的部 分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A 222 ()2abaabb B 222 ()2abaabb C 22 ()()ababab D 22 (2 )()2ababaabb 7.先 化 简 ， 再 求 值 ：311xxxx， 其 中3x （二）能力提升11 1（ 2014? 威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x1 的是（） A x 2 1 B x （x2）+（2x）C x 22x+1 D x 2+2x+1 2 （ （2014? 孝感）若 ab=1，则代数式a 2b22b 的值为 3 （ 2014? 遵义）若a+b=2， ab=2，则 a 2+b2 的值为（） A 6B 4C 3D 2 4 （ 2014? 襄阳）下列计算正确的是（） A. a 2+a2=2a4 B. 4x9x+6x=1 C. （ 2x 2y）3=8x6y3 D. a 6a3=a2 5 （2014? 枣庄）如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形 （a2） ， 将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（） a ab b b b a 图乙 图甲 A a 2+4 B 2a 2+4a C 3a 24a4 D4a 2a2 6. 先 化 简 ， 再 求 值 ： xyxyyxyxyx284 33 ， 其 中1x， 3 3 y。 2. 下列计算正确的是（）B a 4=a7 B. a3a4=a7 C. （a 3）4=a7 D. a6a3=a2 13. 当 x=3，y=1 时，代数式（xy） （xy） y 2 的值是 14. 分解因式： x 22x3=_. （x3） （x1） 13分解因式： 2 9x= 18. （1）计算： 2 (1)2(1)xx 6下列各选项的运算结果正确的是 A 236 (2)8xxB 22 523a ba b C 623 xxx D 222 ()abab 13分解因式： 2 21xx= 5下列运算正确的是 Aa 2a3=a6 B(a 2)3=a6 Ca 6 a 2=a3 D2 3=6 17分解因式：a 26a +9= _. 22. (1)计算： 2 ()()2ab abb . 5下列各式计算正确的是（） A3x-2x=1 B a 2+a2=a4 Ca 5a5 =a D a 3? a2=a5 7化简 5（2x-3 ）+4（3-2x ）结果