高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1空间几何体的结构 1、棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平 行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边 形。 2、棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五 棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似 ，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 3、棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部 分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五 棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCDABCD 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 4、圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所 围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半 径垂直；侧面展开图是一个矩形。 5、圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围 成的几何体 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图 是一个扇形。 6、圆台、圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部 分 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何 体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半 径。 空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点 、轴 1.2空间几何体的三视图和直观图 1、中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2、三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱 （4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， h 为斜高，l为母线） chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积lRrS)( 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRRh 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V = ； S= 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 平面：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线 在 此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 只有一条过改点的公共直线 线线关系：1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 ab cb 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都 适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据 线面位置关系 （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a=A a 4、面面关系 平行没有公共点； 相交有一条公共直线。b 2.2直线、平面平行的判定及其性质 1、线面平行判定 共面直线 =ac 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行，符号表示： 作用：直线与平面的判定定理 2、面面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平 行， 作用：证面面平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 1、线面垂直 定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面 垂直。 作用：证线面垂直 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的 垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂 直性质易得垂线。 2、面面垂直 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 作用：证面面垂直 （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角 。 （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直； 反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 （5）求二面角的方法 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱 的射线得到平面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两 个面的交线所成的角为二面角的平面角 3、垂直关系的性质定理 线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条 直线平行。 面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 第三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地 ，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜 角的取值范围是0180 （2）直线的斜率 定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用k表示。即 tank 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，； 当时，； 当时， 90,0 0k 180,90 0k 90k 不存在。 过两点的直线的斜率公式： )( 21 12 12 xx xx yy k 注意：(1)当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90； (2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上 两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2直线的方程 点斜式：直线斜率k，且过点 )( 11 xxkyy 11, y x 注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用 点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1 。 斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b bkxy 两点式：（）直线两点， 11 2121 yyxx yyxx 1212 ,xxyy 11, y x 22,y x 截矩式： 1 xy ab 其中直线 与 轴交于点,与 轴交于点,即 与 轴、 lx ( ,0)ay(0, )b lx y 轴的截距分别为。 , a b 一般式：（A，B不全为0） 0CByAx 注意：各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2 平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线： by ax （a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线（ 0 000 CyBxA 00,B A 是不全为0的常数）的直线系：（C为常数） 0 00 CyBxA （二）过定点的直线系 （）斜率为k的直线系：，直线过定点； 00 xxkyy 00, y x （）过两条直线， 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 的交点的直线系方程为 （ 为参数），其中直线 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直 当，时， 111: bxkyl 222 :bxkyl ； 212121 ,/bbkkll1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 3.3直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点 相交 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组的一组解。 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 ； 方程组有无数解与重合 21/l l 1 l 2 l 2、两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点， 1122 ( ,),A x yB xy，（） 则 22 2121 |()()ABxxyy 3、点到直线距离公式：一点到直线的距离 00, y xP0: 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 4、两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 第四章 圆与方程 4.1圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点 为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程，圆心，半径为r； 2 22 rbyaxba, （2）一般方程 0 22 FEyDxyx 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 04 22 FED 2 , 2 ED FEDr4 2 1 22 当时，表示一个点； 当 04 22 FED04 22 FED 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件 ，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来 确定圆心的位置。 4.2直线、圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列 两种方法判断： （1）设直线，圆，圆心 0:CByAxl 2 22 :rbyaxCbaC, 到l的距离为，则有； 22 BA CBbAa d 相离与Clrd相切与Clrd 相交与Clrd （2）设直线，圆 0:CByAxl 2 22 :rbyaxC ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别 式为 ，则有 ； 相离与Cl0相切与Cl0相交与Cl0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 2 00 ryyxx 去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。 00, y x (3)过圆上一点的切线方程： 圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 2 00 ryyxx 圆(x-a)2+(y- b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过