选修 4-5 知识点 选修 4-5 知识点 1、不等式的基本性质、不等式的基本性质 （对称性）a bba （传递性） ,ab bcac （可加性）a bacbc （同向可加性） dbcadcba, （异向可减性） dbcadcba, （可积性） bcaccba0, bcaccba0, （同向正数可乘性） 0,0abcdacbd （异向正数可除性） 0,0 ab abcd cd （平方法则） 0(,1) nn ababnNn且 （开方法则） 0(,1) nn abab nNn且 （倒数法则） ba ba ba ba 11 0; 11 0 2、几个重要不等式、几个重要不等式 22 2abab abR， ,（当且仅当a b 时取 号）. 变形公式： 22 . 2 ab ab （基本不等式） 2 ab ab abR， ,（当且仅当a b 时取到等号）. 变形公式： 2abab 2 . 2 ab ab 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. （三个正数的算术几何平均不等式） 3 3 abc abc ()abcR、 、 （当且仅当 abc 时取到等号）. 222 abcabbcca abR， （当且仅当a bc 时取到等号）. 333 3(0,0,0)abcabc abc （当且仅当a bc 时取到等号）. 0,2 ba ab ab 若则 （当仅当 a=b 时取等号） 0,2 ba ab ab 若则 （当仅当 a=b 时取等号） b a nb na ma mb a b 1 ， （其中 000)abmn， 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 22 0;axaxaxaxa 当时，或 22 .xaxaaxa 绝对值三角不等式 .ababab 3、几个著名不等式、几个著名不等式 平均不等式： 22 11 2 22 abab ab ab ， , a bR（ ，当且仅当a b 时取 号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 2 22 ; 22 abab ab 2 22 () . 2 ab ab 幂平均不等式： 2222 1212 1 .(.) . nn aaaaaa n 二维形式的三角不等式： 222222 11221212 ()()xyxyxxyy 1122 ( ,).x y xyR 二维形式的柯西不等式： 22222 ()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR 当且仅当ad bc 时，等号成立. 三维形式的柯西不等式： 2222222 1231231 1223 3 ()()() .aaabbbaba ba b 一般形式的柯西不等式： 222222 1212 (.)(.) nn aaabbb 2 1 122 (.) . nn aba ba b 向量形式的柯西不等式： 设 , 是两个向量， 则 , 当且仅当 是零向量， 或存在实数k， 使 k 时， 等号成立. 排序不等式（排序原理）： 设 1212 .,. nn aaa bbb 为两组实数. 12 ,., n c cc 是 12 ,., n b bb 的任一排列，则 12111 122 . nnnnn aba ba ba ca ca c 1 122 . nn aba ba b （反序和乱序和 顺序和） ，当且仅当 12 . n aaa 或 12 . n bbb 时，反序和等于顺序和. 琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 ( )f x ,对于定义域中任意两点 1212 ,(),x x xx 有 12121212 ()()()() ()(). 2222 xxf xf xxxf xf x ff 或 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： 舍去或加上一些项，如 22 131 ()() ; 242 aa 将分子或分母放大（缩小） ， 如 2 11 , (1)kk k 2 11 , (1)kk k 2212 , 21kkkkkk * 12 (,1) 1 kNk kkk 等. 5、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向， 写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ( ) 0( )( )0 ( ) ( )( )0 ( ) 0 ( )0( ) f x f xg x g x f xg x f x g xg x （ “或” 时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： 当 1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 当0 1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法、对数不等式的解法 当 1a 时, ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 当0 1a 时, ( )0 log( )log( )( )0. ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法： 定义法： (0). (0) aa a aa 平方法： 22 ( )( )( )( ).f xg xfxgx 同解变形法，其同解定理有： (0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或 ( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x 或 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法、含参数的不等式的解法 解形如 2 0axbxc 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 讨论a与 0 的大小； 讨论与 0 的大小； 讨论两根的大小. 14、恒成立问题、恒成立问题 不等式 2 0axbxc 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当 0a 时 0,0;bc 当 0a 时 0 0. a 不等式 2 0axbxc 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当 0a 时 0,0;bc 当 0a 时 0 0. a ( )f xa 恒成立 max ( );f xa ( )f xa 恒成立 max ( );f xa ( )f xa 恒成立 min ( );f xa ( )f xa 恒成立 min ( ).f xa 15、线性规划问题、线性规划问题 常见的目标函数的类型： “截距”型： ;zAxBy “斜率”型： y z x 或 ; yb z xa “距离”型： 22 zxy 或 22; zxy 22 ()()zxayb 或 22 ()() .zxayb 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问 题简单化.