2012 顺义高三一模数学理科第 1 页 共 10 页 n= n +2 S=0，n=2，i=1 i= i +1 S = S+ 1 n 输出 S 开始 结束 是 否 顺义区 2012 届一模高三数学（理科）试卷 2012.4 一.选择题 (本大题共8 个小题 ,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项 ) 1. 已知集合0,1, 3M,|3 ,Nxxa aM,则集合 MNI A.0B. 0,1C. 0, 3D. 1,3 2.已知i为虚数单位，则复数 (1)ii 所对应点的坐标为 A. (1,1) B. (1,1) C. (1,1) D. (1,1) 3.已知p、q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.如图给出的是计算 1111 24620 的值的一个程序框图，判断 框内应填入的条件是 A.20iB.20i C.10iD.10i 5. 已 知 直 线l：10 xy和 圆C： cos 1sin x y （为参数，R） ， 则直线l与圆C的位置关系为 A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心 A. 直线与圆相切B. 直线与圆相离 6.甲乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲乙 两人所选的课程中恰有1 门相同的选法有 A.12 种B.16 种C.24 种 D.48 种 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A.60B.80 C.100D.120 俯视图 左视图 正（主）视图 8 2 3 2 3 4 4 2012 顺义高三一模数学理科第 2 页 共 10 页 8已知椭圆:G 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，M过椭圆G的一个顶点和一 个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是 A. 4B. 8C. 1 2D. 1 6 二.填空题 (本大题共 6 个小题 ,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡上) 9.若 1 () n x x 展开式中第二项与第四项的系数相等，则n_; 展开式中间一项的系数为_. 10.已知数列 n a的前 n 项和为 n S，对任 意的 * nN都有21 nn Sa，则 1 a的值为 _，数列 n a的通项公式 n a_. 11.如图所示：圆O的直径6AB，C为圆周上一点， 0 30BAC ，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂 线，垂足为D，则C D的长为 _. 12.已知O是坐标原点，点(2,1)A，若点(,)Mx y为平面 区域 10 10 10 xy y xy ，上的一个动点，则OAOM 的最大值 为. 13.已知A、B、P是双曲线 22 22 1 xy ab 上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称， 若直线,PAPB的斜率乘积 1 2 PAP B kk，则该双曲线的离心率e_. 14.已知全集为,UPU?，定义集合 P的特征函数为 1, () 0,. P U xP fx xPe ， 对于AU?，BU?，给出下列四个结论： 对 xU，有 ()()1 U A A fxfx e ； 对xU，若AB?，则()() AB fxfx； 对xU，有()()() ABAB fxfxfx I ； 对xU，有()()() ABAB fxfxfx l D O C BA 2012 顺义高三一模数学理科第 3 页 共 10 页 其中，正确结论的序号是_. 三解答题（本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤）. 15 （本小题共13 分） 已知向量(2 cos,1) 2 x m u r ，(cos,1) 2 x n r ，()xR，设函数()fxm n u rr . ()求函数 ()fx 的值域； ()已知ABCV的三个内角分别为A、B、C， 若 1 (), 3 fA23,3BCAC，求边长AB的值 . 16. （本小题共13 分） 如图：四棱锥PABC D中，底面ABC D是平行四边形， 0 90ACB， PA 平面A BC D，1PABC， 2AB ，F是BC的中点 . () 求证：D A平面PAC； ()试在线段PD上确定一点G，使C G平面PAF； （）求平面PAF与平面PC D所成 锐二面角的余弦值. 17 （本小题共13 分） 计算机考试分理论考试与实际操作 考试两部分进行，每部分考试成绩只 记“合格”与“不合格” ，两部分考试 都“合格”者，则计算机考试“合格” 并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人 在理论考试中 “合格” 的概率依次为： 4 5 、 3 4 、 2 3 ，在实际操作考试中“合 格”的概率依次为： 1 2 、 2 3 、 5 6 ，所有考试是否合格相互之间没有影响. （）假设甲、乙、丙3 人同时进行理论与实际操作两项考试， 谁获得“合格证书”的可能性大； （）求这3 人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2 人获得“合格证书”的概率； （）用X表示甲、乙、丙3 人在理论考试中合格的人数，求X的分布列和数学期望EX. 18 （本小题共14 分） 已知函数()ln,fxxx 2 () a g xx x ,(其中0a). （）求曲线()yfx在(1,(1)f处的切线方程; （）若1x是函数()()()hxfxgx的极值点，求实数a 的值 ; A D C F P B 2012 顺义高三一模数学理科第 4 页 共 10 页 （）若对任意的 12 ,1,xxe ， （ e 为自然对数的底数，2.718e） 都有 12 ()()fxg x ，求实数 a 的取值范围 . 19 （本小题共14 分） 已知动圆过点(2, 0)M，且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C. （）求曲线C的方程； （）过点M的直线交曲线C于A，B两点 , 若在 x 轴上存在定点(, 0)P a，使PM平分 APB，求P点的坐标 . 20. （本小题共13 分） 对于定义域为A的函数)( xf，如果任意的Axx 21, ，当 21 xx时，都有 21 xfxf， 则称函数xf是A上的严格增函数；函数kf是定义在*N上，函数值也在*N中的严 格增函数，并且满足条件kkff3. （）证明：)(3)3(kfkf； （）求*)(3( 1 Nkf k 的值； （） 是否存在 p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在， 找 出所有的p 值，若不存在，请说明理由. 2012 顺义高三一模数学理科第 5 页 共 10 页 顺义区2012 届高三一模数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2012.4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B A D C C B C 二.填空题 (本大题共 6 个小题 ,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 94, 6；10.1， 1 2 n ；11, 33 2 ；123；13 6 2 ；14 、； 三解答题（本大题共6 小题，共 80 分） 15 （本小题共 13 分） 解：() 2 ()2 cos1cos 2 x fxmnx urr ，_4分 xRQ ()cosfxx的值域为 1,1. _6分 () 1 ()cos 3 fAA， 由余弦定理 222 2cosBCACABACABA_8分 2 1 12923 3 cc ，即 2 230cc_10分 3ABc ._13分 16. （本小题共 13分） 解：分别以,ACADAP为x、y、z轴建立空 间直角坐标系， 则 1 (0, 0, 0),(1,0, 0),(1,1, 0),(0,1, 0),(1,0),(0, 0,1) 2 ACBDFP ._（建系正 确，坐标写对给 3 分） () 证明方法一：Q四边形是平行四边形， 0 90ACBDAC， QPA平面ABC DPAD A，又ACD A，ACPAAI， D A平面PAC. _4分 方法二：易证DA uuu r 是平面平面 PAC 的一个法向量， D A 平面 PAC ._4分 A D C F P B 2012 顺义高三一模数学理科第 6 页 共 10 页 ()方法一：设PD的中点为 G，在平面PAD 内作G H PA于H ， 则G H平行且等于 1 2 AD，连接F H，则四边形F C G H为平行四边形， _6分 G CFH ，QF H平面PAE，C G平面PAE， C G平面PAE，G为PD中点时，C G平面PAE. _8分 方法二： 设G为PD上一点，使C G平面PAE， 令(0,), (02)PGPD uuu ruuu r ，(1,1)GCPCPG uuu ruuu ruuu r 可求得平面PAE法向量(1, 2, 0)m u r ， 要C G平面PAE，0m G C u ruuu r ，解得 1 2 . G为PD中点时，C G平面PAE. （）可求得平面PC D法向量(1,1,1)n r ，_10分 |15 cos, 5 | m n m n mn urr u rr u rr 所求二面角的余弦值为 15 5 ._13分 17 （本小题共 13 分） 解： （）记“甲获得合格证书”为事件A， “乙获得合格证书”为事件B， “丙 获得合格证书”为事件 C 则 41236 () 52590 PA ， 32145 () 43290 P B ， 25550 () 36990 P C ()()()P CP BP A，所以丙获得合格证书的可能性大. _4分 （）设 3 人考试后恰有 2 人获得“合格证书”为事件D ()(,)(,)(,)P DP A B CP A B CPA B C = 21421531511 52952952930 ._8分 （）0,1, 2, 3.X， 1111 (0) 54360 PX， 4111311129 (1) 54354354360 PX ， 2012 顺义高三一模数学理科第 7 页 共 10 页 43141213226 (2) 54354354360 PX， 43224 (3) 54360 PX._10分 X的分布列为： 133 60 EX； _13分 18 （本小题共 14 分） 解： （） 22 2 ()( )( )ln2ln aa h xfxg xxxxxx xx 定义域0,_1分 222 22 12 ()2 axxa hx xxx ，_3分 法一：令 (1)0h，解得 2 1a， 又 0a ， 1a ，_4分 经验证1a符合条件 . _5分 法二：令 22 2 2 ()0 xxa hx x ， 22 20 xxa， 2 181a 2 1,2 118 4 a x，Q0 x， 2 118 4 a x为极值点， 2 118 1 4 a x，解得 2 1a，又 0a ， 1a ， （）对任意的 12 ,1,xxe都有 12 ()()fxgx成立， 等价于对任意的 1,xe 都有 maxmin ()()fxgx成立， _7分 当1,xe， 11 ()10 x fx xx ，()fx在 1, e 上单调递增， m ax( )( )1fxfee._8分 X0 1 2 3 P 1 60 9 60 26 60 24 60 2012 顺义高三一模数学理