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2012 顺义高三一模数学理科第 1 页 共 10 页 n= n +2 S=0,n=2,i=1 i= i +1 S = S+ 1 n 输出 S 开始 结束 是 否 顺义区 2012 届一模高三数学(理科)试卷 2012.4 一.选择题 (本大题共8 个小题 ,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项 ) 1. 已知集合0,1, 3M,|3 ,Nxxa aM,则集合 MNI A.0B. 0,1C. 0, 3D. 1,3 2.已知i为虚数单位,则复数 (1)ii 所对应点的坐标为 A. (1,1) B. (1,1) C. (1,1) D. (1,1) 3.已知p、q是简单命题,则“pq是真命题”是“p是假命题”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.如图给出的是计算 1111 24620 的值的一个程序框图,判断 框内应填入的条件是 A.20iB.20i C.10iD.10i 5. 已 知 直 线l:10 xy和 圆C: cos 1sin x y (为参数,R) , 则直线l与圆C的位置关系为 A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心 A. 直线与圆相切B. 直线与圆相离 6.甲乙两人从4 门课程中各选修2 门,则甲乙 两人所选的课程中恰有1 门相同的选法有 A.12 种B.16 种C.24 种 D.48 种 7.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为 A.60B.80 C.100D.120 俯视图 左视图 正(主)视图 8 2 3 2 3 4 4 2012 顺义高三一模数学理科第 2 页 共 10 页 8已知椭圆:G 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ,M过椭圆G的一个顶点和一 个焦点,圆心M在此椭圆上,则满足条件的点M的个数是 A. 4B. 8C. 1 2D. 1 6 二.填空题 (本大题共 6 个小题 ,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡上) 9.若 1 () n x x 展开式中第二项与第四项的系数相等,则n_; 展开式中间一项的系数为_. 10.已知数列 n a的前 n 项和为 n S,对任 意的 * nN都有21 nn Sa,则 1 a的值为 _,数列 n a的通项公式 n a_. 11.如图所示:圆O的直径6AB,C为圆周上一点, 0 30BAC ,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂 线,垂足为D,则C D的长为 _. 12.已知O是坐标原点,点(2,1)A,若点(,)Mx y为平面 区域 10 10 10 xy y xy ,上的一个动点,则OAOM 的最大值 为. 13.已知A、B、P是双曲线 22 22 1 xy ab 上不同的三点,且A、B两点关于原点O对称, 若直线,PAPB的斜率乘积 1 2 PAP B kk,则该双曲线的离心率e_. 14.已知全集为,UPU?,定义集合 P的特征函数为 1, () 0,. P U xP fx xPe , 对于AU?,BU?,给出下列四个结论: 对 xU,有 ()()1 U A A fxfx e ; 对xU,若AB?,则()() AB fxfx; 对xU,有()()() ABAB fxfxfx I ; 对xU,有()()() ABAB fxfxfx l D O C BA 2012 顺义高三一模数学理科第 3 页 共 10 页 其中,正确结论的序号是_. 三解答题(本大题共6 小题,共80 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤). 15 (本小题共13 分) 已知向量(2 cos,1) 2 x m u r ,(cos,1) 2 x n r ,()xR,设函数()fxm n u rr . ()求函数 ()fx 的值域; ()已知ABCV的三个内角分别为A、B、C, 若 1 (), 3 fA23,3BCAC,求边长AB的值 . 16. (本小题共13 分) 如图:四棱锥PABC D中,底面ABC D是平行四边形, 0 90ACB, PA 平面A BC D,1PABC, 2AB ,F是BC的中点 . () 求证:D A平面PAC; ()试在线段PD上确定一点G,使C G平面PAF; ()求平面PAF与平面PC D所成 锐二面角的余弦值. 17 (本小题共13 分) 计算机考试分理论考试与实际操作 考试两部分进行,每部分考试成绩只 记“合格”与“不合格” ,两部分考试 都“合格”者,则计算机考试“合格” 并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人 在理论考试中 “合格” 的概率依次为: 4 5 、 3 4 、 2 3 ,在实际操作考试中“合 格”的概率依次为: 1 2 、 2 3 、 5 6 ,所有考试是否合格相互之间没有影响. ()假设甲、乙、丙3 人同时进行理论与实际操作两项考试, 谁获得“合格证书”的可能性大; ()求这3 人进行理论与实际操作两项考试后,恰有2 人获得“合格证书”的概率; ()用X表示甲、乙、丙3 人在理论考试中合格的人数,求X的分布列和数学期望EX. 18 (本小题共14 分) 已知函数()ln,fxxx 2 () a g xx x ,(其中0a). ()求曲线()yfx在(1,(1)f处的切线方程; ()若1x是函数()()()hxfxgx的极值点,求实数a 的值 ; A D C F P B 2012 顺义高三一模数学理科第 4 页 共 10 页 ()若对任意的 12 ,1,xxe , ( e 为自然对数的底数,2.718e) 都有 12 ()()fxg x ,求实数 a 的取值范围 . 19 (本小题共14 分) 已知动圆过点(2, 0)M,且被y轴截得的线段长为4,记动圆圆心的轨迹为曲线C. ()求曲线C的方程; ()过点M的直线交曲线C于A,B两点 , 若在 x 轴上存在定点(, 0)P a,使PM平分 APB,求P点的坐标 . 20. (本小题共13 分) 对于定义域为A的函数)( xf,如果任意的Axx 21, ,当 21 xx时,都有 21 xfxf, 则称函数xf是A上的严格增函数;函数kf是定义在*N上,函数值也在*N中的严 格增函数,并且满足条件kkff3. ()证明:)(3)3(kfkf; ()求*)(3( 1 Nkf k 的值; () 是否存在 p 个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在, 找 出所有的p 值,若不存在,请说明理由. 2012 顺义高三一模数学理科第 5 页 共 10 页 顺义区2012 届高三一模数学(理科)试卷参考答案及评分标准 2012.4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B A D C C B C 二.填空题 (本大题共 6 个小题 ,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 94, 6;10.1, 1 2 n ;11, 33 2 ;123;13 6 2 ;14 、; 三解答题(本大题共6 小题,共 80 分) 15 (本小题共 13 分) 解:() 2 ()2 cos1cos 2 x fxmnx urr ,_4分 xRQ ()cosfxx的值域为 1,1. _6分 () 1 ()cos 3 fAA, 由余弦定理 222 2cosBCACABACABA_8分 2 1 12923 3 cc ,即 2 230cc_10分 3ABc ._13分 16. (本小题共 13分) 解:分别以,ACADAP为x、y、z轴建立空 间直角坐标系, 则 1 (0, 0, 0),(1,0, 0),(1,1, 0),(0,1, 0),(1,0),(0, 0,1) 2 ACBDFP ._(建系正 确,坐标写对给 3 分) () 证明方法一:Q四边形是平行四边形, 0 90ACBDAC, QPA平面ABC DPAD A,又ACD A,ACPAAI, D A平面PAC. _4分 方法二:易证DA uuu r 是平面平面 PAC 的一个法向量, D A 平面 PAC ._4分 A D C F P B 2012 顺义高三一模数学理科第 6 页 共 10 页 ()方法一:设PD的中点为 G,在平面PAD 内作G H PA于H , 则G H平行且等于 1 2 AD,连接F H,则四边形F C G H为平行四边形, _6分 G CFH ,QF H平面PAE,C G平面PAE, C G平面PAE,G为PD中点时,C G平面PAE. _8分 方法二: 设G为PD上一点,使C G平面PAE, 令(0,), (02)PGPD uuu ruuu r ,(1,1)GCPCPG uuu ruuu ruuu r 可求得平面PAE法向量(1, 2, 0)m u r , 要C G平面PAE,0m G C u ruuu r ,解得 1 2 . G为PD中点时,C G平面PAE. ()可求得平面PC D法向量(1,1,1)n r ,_10分 |15 cos, 5 | m n m n mn urr u rr u rr 所求二面角的余弦值为 15 5 ._13分 17 (本小题共 13 分) 解: ()记“甲获得合格证书”为事件A, “乙获得合格证书”为事件B, “丙 获得合格证书”为事件 C 则 41236 () 52590 PA , 32145 () 43290 P B , 25550 () 36990 P C ()()()P CP BP A,所以丙获得合格证书的可能性大. _4分 ()设 3 人考试后恰有 2 人获得“合格证书”为事件D ()(,)(,)(,)P DP A B CP A B CPA B C = 21421531511 52952952930 ._8分 ()0,1, 2, 3.X, 1111 (0) 54360 PX, 4111311129 (1) 54354354360 PX , 2012 顺义高三一模数学理科第 7 页 共 10 页 43141213226 (2) 54354354360 PX, 43224 (3) 54360 PX._10分 X的分布列为: 133 60 EX; _13分 18 (本小题共 14 分) 解: () 22 2 ()( )( )ln2ln aa h xfxg xxxxxx xx 定义域0,_1分 222 22 12 ()2 axxa hx xxx ,_3分 法一:令 (1)0h,解得 2 1a, 又 0a , 1a ,_4分 经验证1a符合条件 . _5分 法二:令 22 2 2 ()0 xxa hx x , 22 20 xxa, 2 181a 2 1,2 118 4 a x,Q0 x, 2 118 4 a x为极值点, 2 118 1 4 a x,解得 2 1a,又 0a , 1a , ()对任意的 12 ,1,xxe都有 12 ()()fxgx成立, 等价于对任意的 1,xe 都有 maxmin ()()fxgx成立, _7分 当1,xe, 11 ()10 x fx xx ,()fx在 1, e 上单调递增, m ax( )( )1fxfee._8分 X0 1 2 3 P 1 60 9 60 26 60 24 60 2012 顺义高三一模数学理
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