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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(文史类) 乐享玲珑,为中国数学增光添彩! 免费玲珑 3D 画板,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 . 1已知全集1,2,3,4,5U,集合1,2A,2,3,4B,则 U BAe A 2B 3,4C 1,4,5D 2,3,4,5 2已知 0 4 ,则双曲线 1 C : 22 22 1 sincos xy 与 2 C : 22 22 1 cossin yx 的 A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等D焦距相等 3在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指 定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ()p ( )qBp ( )qC ()p ()qDpq 4四名同学根据各自的样本数据研究变量, x y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分 别得到以下四个结论: y 与 x 负相关且2.3476.423yx; y 与 x 负相关且3.4765.648yx; y 与 x 正相关且5.4378.493yx; y 与 x 正相关且4.3264.578yx. 其中一定不正确 的结论的序号是 ABCD 5小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与 以上事件吻合得最好的图象是 6将函数3cossin()yxxxR 的图象向左平移(0)m m个单位长度后,所得到的图象关于y轴对 距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A B C D 时间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 称,则 m 的最小值是 A 12 B 6 C 3 D 5 6 7已知点( 1,1)A、(1, 2)B、( 2,1)C、(3, 4)D,则向量AB 在 CD 方向上的投影为 A 3 2 2 B 3 15 2 C 3 2 2 D 3 15 2 8x 为实数, x 表示不超过x的最大整数,则函数( ) f xx x 在 R上为 A奇函数B偶函数C增函数D 周期函数 9某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900 名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人,租金分别为1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过21 辆,且B型车不多于A型 车 7 辆则租金最少为 A31200 元B36000 元C36800 元D38400 元 10已知函数( )(ln)f xxxax 有两个极值点,则实数a 的取值范围是 A (, 0) B 1 (0,) 2 C (0, 1) D (0,) 二、填空题:本大题共7 小题,每小题5 分,共 35 分请将答案填在答题卡对应题号 的位置上 . 答错位置, 书写不清,模棱两可均不得分. 11i为虚数单位,设复数 1 z , 2 z 在复平面内对应的点关于原点对称,若 1 23iz,则 2 z. 12某学员在一次射击测试中射靶10 次,命中环数如下:7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4 则()平均命中环数为;()命中环数的标准差为. 13阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输入 m 的值为 2, 则输出的结果i. 否 AAm 1ii 输入m 1, 1, 0ABi 开始 结束 是 ?AB 输出i 第 13 题图 BBi 14已知圆O: 22 5xy,直线l:cossin1xy( 0 2 ).设圆O上到直线l的距离等于1 的点 的个数为k,则k. 15在区间 2,4 上随机地取一个数x,若 x 满足 |xm 的概率为 5 6 ,则 m. 16我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天 池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量 是寸. (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸) 17在平面直角坐标系中,若点( , )P x y 的坐标 x ,y均为整数,则称点P为格点 . 若一个多边形的顶点全 是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的 格点数记为 L. 例如图中ABC是格点三角形,对应的1S , 0N , 4L . ()图中格点四边形DEFG 对应的,S N L 分别是; ()已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc,其中 a,b,c 为常数 . 若某格点多边形对应的 71N,18L, 则S(用数值作答). 三、解答题:本大题共5 小题,共65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 (本小题满分12 分) 在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c . 已知 cos23cos()1ABC. ()求角A 的大小;()若ABC 的面积5 3S,5b,求 sinsinBC的值 . 19 (本小题满分13 分) 已知 n S 是等比数列 n a的前 n项和, 4 S , 2 S , 3 S 成等差数列,且 234 18aaa. ()求数列 n a的通项公式; ()是否存在正整数n,使得2013 n S?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理 由 20 (本小题满分13 分) 如图,某地质队自水平地面A,B,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到 A1处发现矿藏,再继续下钻到 A2处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 121 A Ad 同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚 度分别为 122B Bd ,123C Cd ,且123ddd . 过AB, AC 的中点M, N 且与直线2AA 平行的平面截 多面体 111222 ABCAB C所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中 ()证明:中截面DEFG是梯形; ()在 ABC 中,记BCa,BC 边上的高为h,面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏 储 量 ( 即 多 面 体 111222 A BCA B C 的 体 积V) 时 , 可 用 近 似 公 式 VSh 估中 来 估 算 . 已 知 123 1 () 3 VdddS,试判断 V估与 V 的大小关系,并加以证明 . 21 (本小题满分13 分) 设0a,0b,已知函数( ) 1 axb f x x . ()当ab时,讨论函数( )f x 的单调性; ()当0 x时,称( )f x 为 a 、b关于 x的加权平均数. (i)判断(1)f, () b f a ,() b f a 是否成等比数列,并证明()() bb ff aa ; (ii )a 、b的几何平均数记为G. 称 2ab ab 为 a 、b的调和平均数, 记为 H. 若( )Hf xG ,求 x 的取值范围 . 第 20 题图 22 (本小题满分14 分) 如图,已知椭圆 1 C 与 2 C 的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在 x 轴上,短轴长分别 为2m, 2()n mn ,过原点且不与x轴重合的直线l与 1 C ,2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A,B,C,D记 m n ,BDM和ABN的面积分别为 1 S 和 2 S . ()当直线l与y轴重合时,若 12 SS ,求的值; ()当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得 12 SS ?并说明理由 Ox y B A 第 22 题图 C D MN 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(文史类)试题参考答案 一、选择题: 1B U BAe.4, 35 ,4,34,3,2 2D 在双曲线 1 C : 22 22 1 sincos xy 与 2 C : 22 22 1 cossin yx 中,都有1cossin 222 c,即焦 距相等 3A 因为 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指定范围” ,则p是“没有降落在指定范围”,q 是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ()q. 4D 在1 中, y 与 x 不是负相关; 1 一定不正确;同理 4 也一定不正确 . 5C 可以将小明骑车上学的行程分为三段,第一段是匀速行驶,运动方程是一次函数,即小明距学校的 距离是他骑行时间的一次函数,所对应的函数图象是一条直线段,由此可以判断A 是错误的; 第二段因交通 拥堵停留了一段时间, 这段时间内小明距学校的距离没有改变,即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数, 所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段,由此可以排除D;第三段小明为了赶时间加快速度行驶,即小 明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度,所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行,从而排除 B. 故选 C. 6B 因为3cossin()yxxxR可化为) 6 cos(2xy(xR) ,将它向左平移 6 个单位得 xxycos2 6 ) 6 (cos2 ,其图像关于y 轴对称 . 7A AB=(2,1) ,CD=(5,5) ,则向量AB在向量CD方向上的射影为 2 23 25 5152 55 )5, 5() 1 ,2( cos 22 CD CDAB AB. 8D 函数( ) f xxx 表示实数x 的小数部分,有 )( 11)1(xfxxxxxf, 所以函数( ) f xxx 是以 1 为周期的周期函数. 9C 根据已知,设需要A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,则根据题设,有 ,9006036 ,0,0 ,7 ,21 yx yx xy yx 画出可行域, 求出三个顶点的坐标分别为A(7,14),B(5,12),C(15,6) ,目标函数 (租 金)为yxk24001600,如图所示 . 将点 B 的坐标代入其中,即得租金的最小值为: 3 6 8 0012240051600k(元) . 10B axxxf21ln)( ,由( )(ln)f xxxax由两个极值点,得0)( xf有两个不等的实数解, 即12lnaxx有两个实数解, 从而直线12axy与曲线xyln有两个交点 . 过点 (0, 1) 作xyln 的切线,设切点为(x0,y0) ,则切线的斜率 0 1 x k,切线方程为1 1 0 x x y. 切点在切线上,则 01 0 0 0 x x y,又切点在曲线xyln上,则10ln 00 xx,即切点为 (1,0) .切线方程为1xy. 再由直线12axy与曲线xyln有两个交点 .,知直线12axy位于两直线0y和1xy之间, 如图所示,其斜率2a 满足: 02a1,解得 0a 2 1 . 二、填空题: 1123i复数 1 23iz在复平面内的对应点Z1(2, 3) ,它关于原点的对称点Z2为( 2,3) ,所 对应的复数为32 2 zi. 12 () 7 () 2 () 7 747109459787 10 1 ; () 2 222222 )74(2)75()77(3)78()79(2)710( 10 1 s=2 10 40 . 13 4 初始值 m=2,A=1,B=1,i=0,第一次执行程序,得i= 1,A=2,B=1,因为 AB 不成立,则第 二次执行程序,得 i= 2,A=22=4,B=1 2=2,还是 AB 不成立,第三次执行程序,得 i=3,A=42=8, B=23=6,仍是 AB 不成立, 第四次执行程序,得 i=4,A=82=16,B=4=24,有 AB 成立, 输出 i= 4. 14 4 这圆的圆心在原点,半径为 5,圆心到直线l的距离为1 sincos 1 22 ,所以圆O上到直线l 的距离等于1 的点有 4 个,如图A、B、C、 D 所示 . 15 3 因为区间 2,4 的长度为6,不等式 |xm 的解区间为 m,m ,其区间长度为
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