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第 1 页共 11 页 北京市西城区 2015年高三一模试卷 数学(文科) 2015.4 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项 1设集合0,1A,集合|Bx xa,若AB,则实数a的范围是() ( A)1a(B)1a(C)0a(D)0a 3关于函数 3 ( )log ()f xx和( )3 x g x,下列说法中正确的是() ( A)都是奇函数(B)都是偶函数 ( C)函数( )f x的值域为 R(D)函数( )g x的值域为 R 4. 执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为 3,则输出的n 的值为 _. ( A)4 ( B)5 ( C)6 ( D) 7 2复数 z满足i3iz ,则在复平面内,复数 z对应的点位于 ( ) ( A)第一象限 (B)第二象限 ( C)第三象限(D)第四象限 x=3x 开始 1n n=n+1 100 x 输出 n 结束 否 是 输入 x 第 2 页共 11 页 5. 设 ,P Q 分别为直线0 xy和圆 22 (6)2xy上的点,则 |PQ 的最小值为() (A) 2 2 (B) 3 2 (C) 42(D) 4 6设函数( )f x 的定义域为R ,则“x R , (1)( )f xf x ”是“函数( )f x为增函数”的 () (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 7 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是() ( A) 7 ( B) 15 2 ( C) 23 3 ( D) 47 6 8. 已知 6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和 小于 20 元,那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是() ( A) 2 枝玫瑰的价格高(B)3 枝康乃馨的价格高 ( C)价格相同(D)不确定 侧 (左)视图 正 (主)视图 俯视图 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 第 3 页共 11 页 第卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分 9. 已知平面向量,a b满足(1, 1)a, ()()abab ,那么|b|=_. 10函数 22 ( )sincosf xxx的最小正周期是_. 11在区间 2,1上随机取一个实数x,则 x 使不等式1|1|x成立的概率为 _. 12已知双曲线C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点是抛物线 2 8yx的焦点, 且双曲线 C 的离心率为2,那么双曲线C 的方程为 _;渐近线方程是_. 13. 设函数 2 0, 1 , ( ) 4 ,0.x xx f xx x x 则 ( 1)f f_;函数( )f x的极小值是 _. 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3 件,二等奖奖品6 件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异. 现有 甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原 料有限, 最多只能制作4 件奖品, 乙厂原料充足, 但收费较贵, 其具体收费情况如下表: 奖品 收费 (元件 ) 工厂 一等奖奖品二等奖奖品 甲500 400 乙800 600 则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元. 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 (本小题满分13 分) 如图,在ABC中, 90ABC , 4AB ,3BC,点D在线段AC上,且4ADDC. ()求BD的长; ()求 sinCBD 的值 . B C A D 第 4 页共 11 页 16 (本小题满分13 分) 已知等差数列 n a的前n项和为 n S ,且满足3 2a, 57 Sa ()求数列 n a的通项公式 n a 及 n S ; ()若 444,mnaaa ( * ,m nN )成等比数列,求n的最小值 17 (本小题满分14 分) 如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,/EFAD, 平面ADEF平面ABCD,且2BCEF,AEAF,点 G 是 EF 的中点 . ()证明:AGCD; ()若点M在线段AC上,且 1 3 AM MC ,求证:GM/平面ABF; ()已知空间中有一点O 到,A B C D G 五点的距离相等,请指出点O的位置 . ( 只 需写出结论 ) 18 (本小题满分13 分) 2014 年 12 月 28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表 . (不 考虑公交卡折扣情况) 已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元,现从那些只乘坐四 号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120 人, 他们乘坐地铁的票价统计如图所示 乘公共电汽车 方案 10 公里(含)内2 元; 10 公里以上部分,每增加1 元可乘坐 5 公里(含) . 乘 坐 地 铁 方 案 (不含机场线) 6 公里(含)内3 元; 6 公里至 12 公里(含) 4 元; 12 公里至 22 公里(含) 5 元; 22 公里至 32 公里(含) 6 元; 32 公里以上部分,每增加1 元可乘坐 20 公里(含) . F C A D B G E 第 5 页共 11 页 ()如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶 然亭站出站的乘客中任选1 人,试估计此人乘坐地 铁的票价小于5 元的概率; ()已知选出的120 人中有 6 名学生,且 这 6 人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价 从 这 120 人中 分层抽样所选的结果相同, 现从这 6 人中随机 选出 2 人,求这2 人的票价和恰好为8 元的概率; ()小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽 车所花交通费也是5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里, 试 写出 s 的取值范围(只需写出结论) 19 (本小题满分14 分) 设点F为椭圆 22 22 1(0) xy Eab ab :的右焦点, 点 3 (1, ) 2 P在椭圆E上,已知椭圆E 的离心率为 1 2 . ()求椭圆E的方程; ()设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,记ABP三条边所在直线的 斜率的乘积为t,求t的最大值 . 20 (本小题满分13 分) 设 * nN,函数 ln ( ) n x f x x ,函数 e ( ) x n g x x ,(0,)x. ()判断函数( )f x在区间(0,)上是否为单调函数,并说明理由; ()若当1n时,对任意的 12 ,(0,)x x, 都有 12 ()()g xf xt 成立,求实数t的 取值范围; () 当2n时,若存在直线lyt:(tR) ,使得曲线( )yf x与曲线( )yg x分 别位于直线l的两侧,写出n的所有可能取值. ( 只需写出结论 ) O 票价 (元) 3 4 5 10 40 50 人数 30 20 60 第 6 页共 11 页 北京市西城区2015 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学 (文科) 2015.4 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分. 1B 2C 3C 4B 5A 6B 7 D 8A 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分. 92;10;11 1 3 ;12 2 2 1 3 y x,3yx;13 10 3 ,2; 14 4900 ; 注:第 12, 13 题第一问2 分,第二问3 分 . 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15 (本小题满分13 分) ()解 :因为90ABC , 4AB ,3BC, 所以 3 cos 5 C, 4 sin 5 C,5AC,, 3 分 又因为DCAD4,所以4AD,1DC. , 4 分 在BCD中,由余弦定理, 得 222 2cosBDBCCDBC CDC , 7 分 22332 3123 1 55 , 所以 5 104 BD. , 9 分 ()在BCD中,由正弦定理,得 sinsin CDBD CBDC , 所以 4 10 1 5 4 sin 5 CBD ,, 12 分 所以 10 sin 10 CDB. , 13 分 16 (本小题满分13 分) () 解: 设公差为d, 第 7 页共 11 页 由题意,得 1 11 22, 1 5546 , 2 ad adad , 4 分 解得 1 2a,2d,,5 分 所以 2(1)224 n ann ,, 6 分 2 1 2(1)23 2 n Snn nnn, 7 分 () 解: 因为 444 , mn a aa成等比数列, 所以 2 444mnaa a,, 9 分 即 2 (24)4(24)mn,, 10 分 化简,得 21 (2)2 2 nm,, 11 分 考察函数 21 ( )(2)2 2 f xx,知 ( )f x 在 (0,) 上单调递增, 又因为 5 (1) 2 f,(2)6f, * nN , 所以当2m时,n有最小值6, 13 分 17 (本小题满分14 分) () 证明 :因为AEAF,点 G 是 EF 的中点, 所以AGEF. ,1 分 又因为/EF AD, 所以AGAD. ,2 分 因为平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCDAD, AG 平面ADEF, 所以AG平面ABCD. ,4 分 因为CD平面 ABCD , 所以AGCD. ,5 分 () 证明 :如图,过点M作MN/BC,且交AB于点N,连结NF, 第 8 页共 11 页 F C A D B G E M N 因为 1 3 AM MC =,所以 1 4 MNAM BCAC =,,6 分 因为2BCEF,点 G 是 EF 的中点, 所以4BCGF, 又因为/EF AD,四边形ABCD 为正方形, 所以GF/MN,GFMN. 所以四边形 GFNM 是平行四边形. 所以/GMFN. ,8 分 又因为GM平面ABF,FN平面ABF, 所以GM/平面ABF. ,11 分 () 解:点 O为线段GC的中点 . ,14 分 18 (本小题满分13 分) () 解:记事件 A 为“此人乘坐地铁的票价小于5 元”,,1 分 由统计图可知, 得 120 人中票价为3 元、4 元、5 元的人数分别为60 ,40 ,20(人). 所以票价小于5 元的有6040100(人),2 分 故 120 人中票价小于5 元的频率是 1005 1206 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率 5 ( ) = 6 P A,4 分 () 解:记事件 B 为“这 2 人的票价和恰好为8 元”,,5 分 由统计图,得 120 人中票价为3 元、 4 元、 5 元的人数比为60:40 :203: 2:1, 则 6 名学生中票价为3 元、 4 元、 5 元的人数分别为3, 2,1(人) . ,6 分 记票价为3 元的同学为,abc,票价为 4 元的同学为,de ,票价为 5 元的同学为f , 从这 6 人中随机选出2 人,所有可能的选出结果共有15 种,它们是:( ,), ( ,)ca ba, (,) ,(,) , (,) ,(,) , (,) , (,) , (,) , (,) , ( ,(,)defcdefdefeaaabbbbcccd, (,) , ( ,)ffde. ,8 分 其中事件B的结果有4 种
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