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2013 年北京市夏季普通高中会考数学试卷(2013.07 ) 满分 100 分考试时间: 120 分 第一部分选择题(每小题3分,共 60 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.如果集合0,1A, 2 |1 Bx x,那么集合AB等于() A. 1 B. 0,1 C. 1,1 D. 1,0,1 2.不等式 2 2xx的解集为() A. |2x x B. |0 x x C. |02xx D. |0 x x或2x 3.已知向量 ( 2,3)OA uu r , ( 1, 2)OB uu u r ,那么 AB uu u r 等于() A. (3,5) B. (3, 5)C. (1, 1) D. (3,5 ) 4.口袋中装有大小、材质完全相同的红色小球2 个、黑色小球1 个,现从口袋中随机摸出 两个小球,那么恰好摸到1 个红色小球和1个黑色小球的概率是() A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 5.如果0 x,那么 1 4x x 的最小值为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.如果直线20 xy与直线5ykx平行,那么实数k的值为() A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 7.在等差数列 n a中,已知 1 8a, 5 0a,那么 4 S等于() A. 44 B. 40 C. 20 D. 12 8.在函数cosyx,yx,e x y,lgyx中,奇函数是() A. cosyx B. yx C. e x y D. lgyx 9.要得到函数sin() 6 yx的图象,只要将函数sinyx的图象() A. 向左平移 6 个单位 B. 向右平移 6 个单位 C. 向左平移 3 个单位 D. 向右平移 3 个单位 10. 如图,在三棱锥D-ABC中,点 E,F,G 分别在侧棱DA,DB,DC上,且平面EFG 平面 ABC. 给出下列三个结论: 1 EF AB;2 BC 平面 EFG;3 EG 平面 ABC,其中成立的结论的个数 是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知函数 ( )log(0,1) a f xx aa在区间1,4上最大值是2,那么a等于() A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D. 4 12.一个几何体的三视图如下图所示,该几何体的体积为() A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 13.在ABC中,:2:7 :3AC CB AB,那么A等于() A. 30B. 60 C. 30或 150 D. 60或 120 14. 11 sin 3 的值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 3 2 15.函数sincosyxx的一个单调递增区间可以为() A. 0, 2 B. ,0 2 C. , 44 D. , 22 16.当,x y满足条件 1, 30, 230, x xy xy 时,目标函数zxy的最大值是() A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 17. 为了解某停车场中车辆停放的状况,在工作日(周一至周五)期间随机选取了一天,对 G F E D C B A 该停车场内的1000 辆汽车的停放时间进行了统计分析,绘制出车辆停放时间的频率分布直 方图(如图所示) ,那么这1000 辆汽车中停放时间不多于 4 小时的汽车有() A. 700辆 B. 350辆 C. 300辆 D. 70辆 18. 在 2005 年到 2010 年的“十一五”期间,党中央、国务院坚持优先发展教育,深入实施 科教兴国战略,各种形式的高等教育在校学生总规模由2300 万人增加到3150 万人 . 这五年 间平均增长率x应满足的关系式是() A. 4 2300805x B. 5 2300805x C. 4 2300(1)3105x D. 5 2300(1)3105x 19. 如果函数 1 2, 2 ( ) 1 ln, 2 xa x f x xx 恰有一个零点,那么实数a的取值范围是() A. a0 B. a 1 C. a 1 D. a0 20. 已知向量(1,1)a,| | 1OM ,2ON a,其中O为坐标原点,那么MN a的最小值 为() A. 21 B. 2 C. 22 D. 2 第二部分非选择题(共40 分) 一、填空题(共4 小题,每小题3 分,共 12 分) 21. 经过两点A( 1,1 ) ,B(2,3) 的直线的斜率为 . 22. 已知向量(1,2)a,(2,)kb,且2ab,那么实数k= . 23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的S的值为 . 频率 组距 O 0.0490 0.0975 0.2525 2 4 6 8 10 12 14 时间(小时) 0.0320 24. 已知数列 n a的通项公式为sin 2 n n an,记前n项和为 n S,那么 2013 S= . 二、解答题(共4 个小题,共28 分) 25. (本小题满分7 分) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中, BB1底面 ABC,且 AB=AC,D是 BC的中点 . (I) 求证: AD 平面 BCC1B1; (II)求证: A1C平面 AB1D. 26. (本小题满分7 分) 已知函数( )3sin 2cos2 ,f xxx xR. (I )求函数( )f x的最小正周期; (II )求函数( )f x在区间0, 2 上最大值和最小值. 27. (本小题满分7 分) 在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆经过点A ( 1,0 ). (I) 求圆O的方程; (II)设 M是直线340 xy上的一个动点,ME,MF是圆O的两条切线,切点为E,F. (i) 如果 EMF=60 ,求点M的横坐标; (ii)求四边形 MEOF 面积的最小值. 28. (本小题满分7 分) 是 否 开始 1,S0n S2 n S 1nn 4n 输出 S 结束 C1 B1 A1 D C B A 设函数 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xa, 1 110 g( ) mm mm xb xbxbxb,且对 所 有 的实 数x, 等式() (fgxgfx都成 立, 其中 01 , n a aa, 01 ,b ,bnbR,m nN. (I) 如果函数 2 ( )2f xx,g( )xkx,求实数k的值; (II)设函数 32 ( )321f xxx,写出满足( )( )f g xg fx的两个函数( )g x; (II)如果方程( )( )f xg x无实数解,求证:方程( )( )ff xg g x无实数解 . 2013 年北京市夏季普通高中会考数学试卷(2013.07 )参考答案 选择题: 1. D 2. D 3. A 4. D 5. C 6. B 7. C 8.A 9.B 10. D 11. C 12. A 13. B 14. A 15. C 16. D 17. A 18. D 19. B 20. C 一填空题 21. 2 ;22. 4 ;23. 14 ;24. 1007 ; 二 25 (I )证明:因为AB=AC,D是 BC的中点,所以AD BC. 因为 BB1平面 ABC,AD平面 ABC,所以 AD BB1. 因为 BB1BC=B,所以 AD 平面 BCC1B1. (II )证明:如图,连接A1B,设 AB1A1B=E,连接 DE. 因为四边形ABB1A1为矩形,所以E为 A1B中点 . 因为在 A1BC中, D是 BC的中点,所以DE A1C. 因为 DE平面 AB1D,A1C平面 AB1D.所以 A1C平面 AB1D. 26. (I )解:因为 ( )3sin 2cos2f xxx= 31 2(sin 2cos2 ) 22 xx =2(sin 2 coscos2 sin) 66 xx =2(sin 2) 6 x 所以函数( )f x的最小正周期 22 |2 T. E C1 B1 A1 D C B A (II )解:由0, 2 x,可得 7 2, 666 x,所以 1 sin(2)1 26 x. 所以12sin(2)2 6 x 所以当 7 2 66 x,即 2 x时,函数( )fx的最小值为1; 当2 62 x,即 6 x时,函数( )f x的最大值为2. 27. (I )解:因为 |OA|=1 ,所以圆O的方程为 22 1xy. (II )解: (i )如图,连接OM, 由题意可知OEM 为直角三角形. 因为 EMF=60 ,所以 OME=30 . 所以 |OM|=2|OE|=2. 因为 M是340 xy直线上的动点, 所以设点 M的坐标为(t, 3t+4 ) . 所以 |OM|= 22 (0)(3t4)0t=2,解得 66 5 t,或 66 5 t. 所以点 M的横坐标为 66 5 或 66 5 . (ii )因为原点O到直线340 xy的距离 2 | 4|4 10 31 d, 所以 |OM|的最小值是 4 10 . 因为 OEM 为直角三角形,所以|ME| 2=|OM|2-123 5 . 所以 |ME|DE 最小值是 15 5 . 因为 S四边形 MEOF=2SMEO= 1 21 |ME | |ME | 2 , 所以四边形MEOF 面积的最小值是 15 5 . 28 (I ) 解:因为( )( )f g xg f x,所以 22 ()2(2)kxk x,即 222 22k xkxk. 因为上式对所有的实数x都成立,所以 2 22 kk k 解得1k. (II )解:如( )( )f xg x 32 321xx,( )g xx,符合题意 .( 答案不唯一 ) (III)证明:设函数F( )( )( )xf xg x,因为方程( )( )f xg x无实数解 . 所以函数F( )x的图象恒在x轴上方,或者恒在x轴下方, 即对任意R,F()0 xx,或者对于任意R,F()0 xx. 1 当F( )0 x时,因为( ) ( )ff xg g x=( )( )g( )( )ff xg g xf xg g x =( )( ) ( )( )ff xg fxf g xg g x=F( )F( )0fxg x 所以此时方程( )( )ff xg g x无实数解 . 2 当F( )0 x时,同理可证( ) ( )0ff xg g x. 所以此时方程( )( )ff xg g x无实数解 . 综上,当方程( )( )f xg x无实数解,求证:方程( )( )ff xg g x无实数解 .
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