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海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(文科)2013.11.06 一、选择题:本大题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 1. 已知集合 1,0,1,2A , |1Bx x ,则 AB ( ) A. 2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,1,2 2. 下列函数中,为奇函数的是( ) A. ( )f xx B. ( )lnf xx C. ( )2 x f x D. ( )sinf xx 3. 已知向量 (1, 2),( , 1)mab ,且 / /ab,则实数m的值为 ( ) A. 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 4. “ 6 ” 是“ 1 sin 2 ” 的() A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列 n a的前n项和为 n S,且 * 11 10,3() nn aaanN,则 n S取最小值时,n的值是() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.若函数 tan ,0, ( )2 (1)1,0 xx f x a xx 在 (,) 2 上单调递增,则实数 a的取值范围 ( ) A. (0,1 B. (0,1) C. 1,) D. (0,) 7.若函数 ( )sinf xxkx 存在极值,则实数 k 的取值范围是( ) A. ( 1,1) B. 0,1) C. (1,) D. (, 1) 8.已知点 (1,0)B,P是函数exy 图象上不同于 (0,1)A的一点 .有如下结论: 存在点P使得ABP是等腰三角形;存在点P使得ABP是锐角三角形; 存在点P使得ABP是直角三角形 . 其中,正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3 二、填空题 :本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 函数 2 yxx的定义域是 _. 10.已知10 5,lg2 a b,则ab_. 11. 已知等差数列 n a的前 n 项和为 nS ,若 33 4,3aS,则公差d_. 12.函数 ( )2sin() (0,|) 2 f xx的图象如图所示, 0.52 2 2 x y O 则_,_. 13. 向量,AB AC在正方形网格中的位置如图所示 . 设向量ACAB a ,若 ABa ,则实数_. 14.定义在 (0,) 上的函数( )f x 满足: 当1,3)x时, 1,12, ( ) 3, 23, xx f x xx (3 )3 ( )fxf x . ( i)(6)f; ( ii ) 若 函 数()()Fxfxa的 零 点 从 小 到 大 依 次 记 为 12 , n x xx, 则 当( 1 , 3 )a时 , 12212nn xxxx_. 三、解答题 : 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 . 15.(本小题满分14 分) 已知函数 2 ( )3cos22cos ()1 4 f xxx. (I)求( )fx的最小正周期; (II )求( )f x在区间 , 3 2 上的取值范围 . 16.(本小题满分13 分) 在ABC中,60A,32 ,bc 3 3 2 ABC S. ()求b的值; ()求sinB的值 . 17.(本小题满分13 分) 已知等比数列 n a 满足3112 3,3aaaa . (I)求数列 n a的通项公式; (II )若 2 1 nn ba,求数列 n b的前n项和公式 . 18.(本小题满分13 分) 如图,已知点(11,0)A,函数1yx的图象上的动点P在x轴上的射影为H,且点H在点A的左侧 .设 |PHt,APH的面积为( )f t . C AB HAO P x y (I)求函数( )f t的解析式及t的取值范围; (II )求函数( )f t的最大值 . 19.(本小题满分14 分) 已知函数( )lnf xxax (I)当1a时,求曲线( )yf x在点(1 ,(1)f处的切线方程; (II )求( )f x的单调区间; (III )若函数( )f x没有零点,求a的取值范围 . 20.(本小题满分13 分) 已知数列 n a的首项 1 ,aa其中 * aN, 1 ,3, 3 1 ,3. n n n nn a a a aa 为 的倍数 不为 的倍数 令集合|,=1,2,3 n Ax xan,. (I)若4a,写出集合A中的所有的元素; (II )若2014a,且数列 n a中恰好存在连续的7 项构成等比数列,求a的所有可能取值构成的集合; (III )求证: 1A. 1.B 2. D 3.C 4.A 5.B 6.A 7.A 8.B 9. (, 10,) ;10.1;11.3;12. 2 3 , 6;12.3;14.3; 6(3 1) n ; 15. 解: (I) ( )3cos2cos(2 ) 2 f xxx-2分 3cos2sin2xx-4分 2sin(2) 3 x-6分 ( )f x最小正周期为T,-8分 (II )因为 32 x,所以 4 2 333 x-10分 所以 3 sin(2)1 23 x-12分 所以 32sin(2)2 3 x,所以( )f x取值范围为 3,2.-14 分 16. 解: ()由60A 和 3 3 2 ABC S可得 13 3 sin60 22 bc, -2分 所以6bc,-3分 又32 ,bc 所以2,3bc. -5分 ()因为2,3bc,60A , 由余弦定理 222 2cosabcbcA可得-7分 222 2367a,即7a. -9分 由正弦定理 sinsin ab AB 可得 72 sinsin60B ,-12分 所以 21 sin 7 B.-13分 17. 解: (I)设等比数列 n a 的公比为 q, 由 31 3aa 得 2 1( 1)3a q-2分 由 12 3aa得 1(1 )3aq-4分 两式作比可得11q,所以2q,-5分 把2q代入解得 1 1a,-6分 所以 1 2 n n a. -7分 (II )由( I)可得 21 141 n nn ba-8分 易得数列 1 4 n 是公比为4 的等比数列, 由等比数列求和公式可得 141(4 1) 143 n n n Snn.-13分 18. 解: (I)由已知可得1xt,所以点P的横坐标为 2 1t,-2分 因为点 H在点A的左侧,所以 2 111t,即232 3t. 由已知0t,所以02 3t,-4分 所以 22 11(1)12,AHtt 所以APH的面积为 2 1 ( )(12) ,02 3 2 f tttt.-6分 (II ) 233 ( )6(2)(2) 22 ftttt-7分 由( )0ft,得2t(舍) ,或2t. -8分 函数( )f t与( )ft在定义域上的情况如下: t(0,2)2 (2,23) ( )ft + 0 ( )f t 极大值 -12分 所以当2t时,函数( )f t取得最大值8. -13分 19. 解: (I)当1a时,( )lnf xxx, 1 ( )1(0)fxx x -1分 (1) 1f,(1)2f-3分 所以切线方程为210 xy-5分 (II )( )(0) xa fxx x -6分 当0a时,在(0,)x时( )0fx,所以( )f x的单调增区间是(0,);-8 分 当0a时,函数( )f x与( )fx在定义域上的情况如下: x(0,)aa(,)a ( )fx 0 + ( )f x 极小值 -10分 (III )由( II )可知 当0a时,(0,)是函数( )f x的单调增区间,且有 11 ()11 10 aa f ee,(1)10f, 所以,此时函数有零点,不符合题意;-11分 当0a时,函数( )f x在定义域(0,)上没零点;-12分 当 0a 时,()fa是函数( )f x的极小值,也是函数( )f x的最小值, 所以,当()(ln()1)0faaa,即ea时,函数( )f x没有零点 -13 分 综上所述,当e0a时,( )f x没有零点 . -14分 20. 解: (I)集合A的所有元素为:4,5,6,2,3,1.-3分 (II )不妨设成等比数列的这连续7 项的第一项为 k a, 如果 ka 是 3 的倍数,则 1 1 3 kk aa;如果 ka 是被 3 除余 1,则由递推关系可得 22kkaa ,所以 2ka 是 3 的倍数,所以 32 1 3 kk aa;如果 k a被 3 除余2,则由递推关系可得 1 1 kk aa,所以 1k a 是 3 的倍数,所以 21 1 3 kk aa. 所以,该7 项的等比数列的公比为 1 3 . 又因为 * n aN,所以这 7 项中前 6 项一定都是3 的倍数, 而第 7 项一定不是3 的倍数 (
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