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1 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(理工类) 20145 (考试时间120 分钟满分 150 分) 本试卷分为选择题(共40 分)和非选择题(共110 分)两部分 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题 :本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项 (1)已知集合230AxxR,集合 2 320BxxxR,则AB (A) 3 2 x x(B) 3 2 2 xx (C)12xx (D) 3 2 2 xx (2)如果0ab,那么下列不等式一定成立的是 (A) 33 loglogab(B) 11 ()() 44 ab (C) 11 ab (D) 22 ab (3)执行如右图所示的程序框图若输出的结果为2,则输入的正整 数a的可能取值的集合是 (A)1,2,3,4,5 (B)1,2,3,4,5,6 (C)2,3,4,5 (D)2,3,4,5,6 (4)已知函数 ( )sin(0,0,) 2 f xAxA的 部分图象如图所示,则 (A) 6 (B) 6 (C) 3 (D) 3 (5)已知命题p:复数 1i i z在复平面内所对应的点位于第四 3 12 2 -2 O y x 开始 i=0 结束 i=i+1 a 13? 输出 i 是 否 a=2a+3 输入 a 2 象限;命题q:0 x,cosxx,则下列命题中为真命题的是 (A)()()pq(B)()pq(C)()pq(D)pq (6)若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 的一条渐近线与圆 22 (2)1xy至多有一个交点,则 双曲线离心率的取值范围是 (A)(1,2(B)2,)(C)(1, 3(D)3,) (7) 某工厂分别生产甲、乙两种产品1 箱时所需要的煤、 电以及获得的纯利润如下表所示 若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨,电不超过60千度,则可获得的最 大纯利润和是 (A)60万元( B)80万元(C)90万元(D)100万元 (8)如图放置的边长为1的正PMN沿边长为3的正方形ABCD的各边内侧逆时针方向 滚动 当PMN沿正方形各边滚动一周后,回到初始位 置时,点P的轨迹长度是 (A) 8 3 (B) 16 3 (C)4(D) 第二部分(非选择题共 110分) 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分把答案填在答题卡上 (9)已知平面向量a,b满足1a,2b,a与b的夹角为60,则2ab_ (10) 5 (12 )x的展开式中 3 x项的系数为 _ (用数字表示) (11)如图,AB为圆O的直径,2AB,过圆O上一点M作圆O的切线,交AB的延 长线于点C,过点M作MDAB于点D,若D是OB中点,则AC BC=_ 煤(吨)电(千度)纯利润(万元) 1箱甲产品312 1箱乙产品111 D C B A(P) M N 3 (12)由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示,则其体积是;表面积 是 (13)已知数列 n a的前n项和为 n S,且满足24() nn SanN,则 n a; 数列 2 log n a的前n项和为 (14) 若存在正实数M, 对于任意(1,)x,都有( )f xM, 则称函数( )f x在(1,) 上是有界函数下列函数 1 ( ) 1 f x x ; 2 ( ) 1 x fx x ; ln ( ) x f x x ;( )sinf xxx, 其中“在(1,)上是有界函数”的序号为 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 (15) (本小题满分13 分) 在ABC中,角A,B,C的对边分别是 a,b ,c,且 3 A,3b,ABC 的面积为 15 3 4 ()求边 a的长; ()求cos2B的值 M DCBAO (第 11 题图) 2 2 2 2 俯视图 侧视图 正视图 (第 12 题图) 4 (16) (本小题满分13 分) 某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格教育部门在 全市随机抽取200 位学生参加社区服务的数据,按时间段75,80,80,85,85,90, 90,95,95,100(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示 ( )求抽取的200 位学生中,参加社区服务时间不少于90 小时的学生人数,并估计 从全市高中学生中任意选取一人,其参 加社区服务时间不少于90 小时的概率; ( )从全市高中学生(人数很多)中任意选取3 位 学生,记为 3 位学生中参加社区服务时间不少于90 小时的人数 试求随机变量的分布列和数学期望E (17) (本小题满分14 分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是 正方形,侧面PAD底面ABCD,E,F分别为PA,BD中点,2PAPDAD ()求证:EF平面PBC; ()求二面角EDFA的余弦值; ()在棱PC上是否存在一点G,使 GF平面EDF?若存在,指出点G的 位置;若不存在,说明理由 (18) (本小题满分 13分) 已知函数 21 ( )e1 x f xax,aR ()若曲线 ( )yf x 在点(0, (0)f 处的切线与直线 e10 xy 垂直,求a的值; ()求函数 ( )f x 的单调区间; ()设 3 2ea ,当0, 1x时,都有( )f x 1成立,求实数a的取值范围 组距 频率 0.005 0.075 75 80 85 90 95 0.020 100 0.040 0.060 服务时间 /小时 O F A B C D P E 5 (19) (本小题满分14 分) 已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为 1 2 ,右焦点到右顶点的距离 为1 ()求椭圆C的标准方程; ( ) 是 否 存 在 与 椭 圆C交 于,A B两 点 的 直 线l:()ykxm kR, 使 得 22OAOBOAOB成立?若存在,求出实数m的取值范围,若不存在, 请说明理由 . (20) (本小题满分13 分) 已知 1 x, 2 x是函数 2 ( )f xxmxt的两个零点,其中常数 m,tZ,设 12 0 () n nrr n r TxxnN ()用m,t表示 1 T, 2 T ; ()求证: 543 TmTtT; ()求证:对任意的, n nTNZ 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(理工类) 20145 一、选择题(满分40 分) 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C C D D A C B 二、填空题(满分30 分) 题号9 10 11 12 13 14 答案 2 3 803 8 2 3 8 3 1 2 n (3) 2 n n 三、解答题(满分80 分) 15 (本小题满分13 分) 6 解: ()由 1 sin 2 ABC SbcA得, 115 3 3sin 234 ABC Sc 所以5c 由 222 2cosabcbcA得, 222 3523 5cos49 3 a, 所以7a 7 分 ( )由 sinsin ab AB 得, 73 sin 3 2 B, 所以 3 3 sin 14 B 所以 2 71 cos212sin 98 BB 13 分 16 (本小题满分13 分) 解: ()根据题意, 参加社区服务时间在时间段90,95小时的学生人数为2000.060560(人) , 参加社区服务时间在时间段95,100小时的学生人数为2000.020 520(人) 所以抽取的200 位学生中,参加社区服务时间不少于90 小时的学生人数为80人 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90 小时的 概率估计为 6020802 . 2002005 P 5 分 ()由()可知,从全市高中生中任意选取1 人,其参加社区服务时间不少于90 小时的概率为 2 . 5 由已知得,随机变量的可能取值为0,1,2,3 所以 003 3 2327 (0)( )( ) 55125 PC; 112 3 2354 (1)()( ) 55125 PC ; 221 3 2336 (2)()( ) 55125 PC; 330 3 238 (3)()() 55125 PC 随机变量的分布列为 7 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 因为 2 (3) 5 B, ,所以 26 3 55 E 13 分 17 (本小题满分14 分) 证明: ()如图,连结AC 因为底面ABCD是正方形, 所以AC与BD互相平分 又因为F是BD中点, 所以F是AC中点 在PAC中,E是PA中点,F是AC中点, 所以EFPC 又因为EF平面PBC,PC平面PBC, 所以EF平面PBC 4 分 ()取AD中点O在PAD中,因为PAPD, 所以POAD 因为面PAD底面ABCD, 且面PAD面=ABCDAD, 所以PO面ABCD 因为OF平面ABCD 所以POOF 又因为F是AC中点, 所以OFAD 如图,以O为原点,,OA OF OP分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系 因 为2PAPDAD, 所 以3OP, 则(0, 0, 0)O,(1,0,0)A,(1,2,0)B, ( 1,2,0)C,( 1,0,0)D,(0,0,3)P, 13 (,0,) 22 E,(0,1,0)F 于是(0,2,0)AB, 33 (,0,) 22 DE,(1,1,0)DF O x y z F A B C D P E E P D C B A F 8 因为OP面ABCD,所以(0,0,3)OP是平面FAD的一个法向量 设平面EFD的一个法向量是 000 = (,)xyzn 因为 0, 0, DF DE n n 所以 00 00 0, 33 0, 22 xy xz 即 00 00 , 3. yx zx 令 0 1x则= (1 , 1,3)n 所以 315 cos, 535 OP OP OP n n n 由图可知,二面角E-DF-A为锐角,所以二面角E-DF-A的余弦值为 15 5 10 分 ()假设在棱PC上存在一点G,使GF面EDF设 111 (,)G x y z, 则 111 = (,1,)FGx yz 由()可知平面EDF的一个法向量是= (1, 1,3)n 因为GF面EDF,所以=FGn 于是, 111 ,1,3xyz,即 111 ,1,3xyz 又因为点G在棱PC上,所以GC与PC共线 因为( 1,2,3)PC, 111 (+1,2,)CGxyz, 所以 111 12 123 xyz = 所以 113 123 = ,无解 故在棱PC上不存在一点G,使GF面EDF成立 14 分 18 (本小题满分13 分) ()由已知得 21 ( )2e x fxa 因为曲线( )f x在点(0,(0)f处的切线与直线e10 xy垂直, 所以 (0)ef 所以 (0)2eefa 所以ea 3 分 9 ()函数( )f x的定义域是,, 21 ( )2e x fxa (1)当0a时,( )0fx成立,所以)(xf的单调增区间为, (2)当0a时, 令( )0fx,得 11 ln 222 a x,所以( )f x的单调增区间是 11 (ln,) 222 a ; 令( )0fx,得 11 ln 222 a x,所以( )f x的单调减区间是 11 (,ln) 222 a 综上所述,当0a时, )(xf 的单调增区间为,; 当0a时,( )f x的单调增区间是 11 (ln,) 222 a , ( )f x 的单调减区间是 11 (,ln) 222 a 8 分 ()当0 x时,(0)e 11f成立,aR “当(0,1x时, 21 ( )e11 x f xax恒成立” 等价于“当 (0,1x 时, 21 e x a x 恒成立” 设 21 e ( ) x g x x ,只要“当(0,1x时,
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