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2011 东城二模数学理科第 1 页 共 10 页 北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习(二) 数学(理科) 2011.5 一、本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项。 1、若复数 2 ()i i xxx z(xR)为纯虚数,则x等于 (A) 0 (B)1(C)-1 (D)0 或 1 2、给出下列三个命题: xR,0 2 x; 0 xR,使得 2 00 xx成立; 对于集合,M N,若xMN,则xM且xN. 其中真命题的个数是 (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 3、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为 (A)( B)(C)(D) 4、极坐标方程02sin(0)表示的图形是 (A)两条直线(B)两条射线 (C)圆(D)一条直线和一条射线 5、已知正项数列 n a中,11a,22a, 222 11 2(2) nnn aaan,则 6 a等于 (A) 16 ( B)8 (C)22(D)4 6、已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N两 点,O为坐标原点 . 若OMON,则双曲线的离心率为 (A) 13 2 (B ) 13 2 (C) 15 2 (D) 15 2 7、ABC外接圆的半径为1,圆心为O,且2OAABAC0, | |OAAB ,则CA CB等 于 (A) 3 2 (B) 3 (C)3(D)2 3 2011 东城二模数学理科第 2 页 共 10 页 CO P B A 8、已知函数 2 1,0, ( ) log,0, xx f x xx 则函数1)(xffy的零点个数是 (A) 4 (B)3 ( C)2 (D)1 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分。 9、 251 ()x x 的展开式中, 4 x的系数为 (用数字作答) 10、某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相 关人员中, 抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为; 若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有1人来自公务员 的概率为 11、在ABC中,若 ,2 4 Bba,则C 12、如图,BC是半径为2的圆O的直径,点P在BC的延长线上,PA是圆O的切线,点A在 直径BC上的射影是OC的中点,则ABP= ;PB PC 13 、 已 知 点(2, )Pt在 不 等 式 组 40, 30 xy xy 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 点( 2, )Pt到 直 线 341 00 xy距离的最大值为_ 14、对任意xR,函数( )f x满足 2 1 (1)( )( ) 2 f xf xf x,设)()( 2 nfnfan,数 列 n a的前 15 项的和为 31 16 ,则(15)f 相关人员数抽取人数 公务员32 x 教师48 y 自由职业者64 4 2011 东城二模数学理科第 3 页 共 10 页 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15、 (本小题共13 分) 已知 72 sin() 410 A, (,) 4 2 A ()求cos A的值; ()求函数 5 ( )cos2sinsin 2 f xxAx的值域 16、 (本小题共14 分) 如图,在直三棱柱 111 ABCABC中,5ABAC,D,E分别为BC, 1 BB的中点,四 边形 11 B BCC是边长为6的正方形 ()求证: 1 A B平面 1 AC D; ()求证:CE平面 1 AC D; ()求二面角 1 CACD的余弦值 17、 (本小题共13 分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多 2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为 1 () 2 p p,且各局胜负相互独立已知第二 局比赛结束时比赛停止的概率为 5 9 ()求p的值; ()设表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望E 18、 (本小题共13 分) 已知函数xaxxfln)( 2 (Ra) ()若2a,求证:)(xf在(1,)上是增函数; ()求)(xf在1,e上的最小值 2011 东城二模数学理科第 4 页 共 10 页 19、 (本小题共13 分) 在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点 1 (0,) 4 F的距离比点P到x轴的距离大 1 4 , 设动点P 的轨迹为曲线C,直线:1lykx交曲线C于,A B两点,M是线段AB的中点,过点M作x轴 的垂线交曲线C于点N ()求曲线C的方程; ()证明:曲线C在点N处的切线与AB平行; ()若曲线C上存在关于直线l对称的两点,求k的取值范围 20、 (本小题共14 分) 在单调递增数列 n a中,2 1 a,不等式 n an)1( n na2对任意 * nN都成立 . ()求 2 a的取值范围; ()判断数列 n a能否为等比数列?说明理由; ()设 11 (1 1)(1)(1) 22 nn b,) 2 1 1 (6 nn c, 求证:对任意的 * nN,0 12 n nn a cb . 2011 东城二模数学理科第 5 页 共 10 页 北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习(二) 高三数学(理科)参考答案及评分标准2011.5 一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分) 1、B 2、C 3、B 4、 A 5、D 6、D 7、C 8、 A 二、填空题(本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分) 9、10 10、9 5 3 11、 7 12 12、3012 13、4 14、 3 4 注:两个空的填空题第一个空填对得2 分,第二个空填对得3 分 三、解答题(本大题共6 小题,共80 分) 15、 (共 13 分) 解: ()因为 42 A,且 7 2 sin() 410 A, 所以 3 244 A, 2 cos() 410 A 因为 coscos()cos()cossin()sin 444444 AAAA 227 223 1021025 所以 3 cos 5 A6分 ()由()可得 4 sin 5 A 所以 5 ( )cos2sinsin 2 fxxAx 2 12sin2sinxx 2 13 2(sin) 22 x,xR 因为sin 1,1x,所以,当 1 sin 2 x时,( )f x取最大值 3 2 ; 当sin 1x 时,( )f x取最小值 3 所以函数( )f x的值域为 3 3, 2 13 分 16、 (共 14 分) 2011 东城二模数学理科第 6 页 共 10 页 O E A1 D C C1 B1B A z x y E A DG C B1B C1 A1 ()证明:连结 1 AC,与 1 AC交于O点,连结OD 因为O,D分别为 1 AC和BC的中点, 所以OD 1 AB 又OD平面 1 AC D, 1 AB平面 1 AC D, 所以 1 AB平面 1 AC D4 分 ()证明:在直三棱柱 111 ABCABC中, 1 BB平面ABC,又AD平面ABC, 所以 1 BBAD 因为ABAC,D为BC中点, 所以ADBC又 1 BCBBB, 所以AD平面 11 B BCC 又CE平面 11 B BCC, 所以ADCE 因为四边形 11 B BCC为正方形,D,E分别为BC, 1 BB的中点, 所以RtCBERt 1 CCD, 1 CC DBCE 所以 1 90BCEC DC 所以 1 C DCE 又 1 ADC DD, 所以CE平面 1 AC D9 分 ()解:如图,以 11 BC的中点G为原点,建立空间直角坐标系 则 1 (0,6,4),(3,3,0),( 3,6,0),( 3,0,0)AECC 由()知CE平面 1 AC D,所以(6, 3,0)CE 为平面 1 AC D的一个法向量 设( , )x y zn为平面 1 ACC的一个法向量, ( 3,0, 4)AC , 1 (0, 6,0)CC 由 1 0, 0. AC CC n n 可得 340, 60. xz y 2011 东城二模数学理科第 7 页 共 10 页 令1x,则 3 0, 4 yz 所以 3 (1,0,) 4 n 从而 8 cos5 25| | CE CE, CE n n n 因为二面角 1 CACD为锐角, 所以二面角 1 CACD的余弦值为 8 5 25 14 分 17、 (共 13 分) 解: ()当甲连胜2 局或乙连胜2 局时,第二局比赛结束时比赛停止, 故 22 5 (1) 9 pp,解得 1 3 p或 2 3 p 又 1 2 p,所以 2 3 p6 分 ()依题意知的所有可能取值为2,4,6 5 (2) 9 P, 5520 (4)(1) 9981 P, 52016 (6)1 98181 P, 所以随机变量的分布列为: 246 P 5 9 20 81 16 81 所以的数学期望 52016266 246 9818181 E13 分 18、 (共 13 分) ()证明:当2a时,xxxfln2)( 2 , 当), 1(x时,0 ) 1(2 )( 2 x x xf, 所以)(xf在), 1(上是增函数5 分 2011 东城二模数学理科第 8 页 共 10 页 ()解:)0( 2 )( 2 x x ax xf,当 1,ex, 22 22,2exaaa 若2a,则当x1,e时,0)(xf, 所以)(xf在1,e上是增函数, 又1)1(f,故函数)(xf在1,e上的最小值为1 若 2 2ea,则当x, 1e时,0)(xf, 所以)(xf在1,e上是减函数, 又(e)f 2 ea,所以)(xf在1,e上的最小值为 2 ea 若 2 22ea,则当 2 1 a x时,0)(xf,此时)(xf是减函数; 当e 2 a x时,0)(xf,此时)(xf是增函数 又()ln 2222 aaaa f, 所以)(xf在1,e上的最小值为ln 222 aaa 综上可知,当2a时,)(xf在1,e上的最小值为1; 当 2 22ea时,)(xf在1,e上的最小值为ln 222 aaa ; 当 2 2ea时,)(xf在1,e上的最小值为 2 ea13 分 19、 (共 13 分) ()解:由已知,动点P到定点 1 (0,) 4 F的距离与动点P到直线 1 4 y的距离相等 由抛物线定义可知,动点P的轨迹为以 1 (0,) 4 为焦点,直线 1 4 y为准线的抛物 线 所以曲线C的方程为 2 yx3分 ()证明:设 11 (,)A x y, 22 (,)B xy 由 2 , 1, yx ykx 得 2 10 xkx 所以 12 xxk, 12 1x x 设 00 (,)M xy,则 0 2 k x 2011 东城二模数学理科第 9 页 共 10 页 因为MNx轴, 所以N点的横坐标为 2 k 由 2 yx,可得2yx 所以当 2 k x时,yk 所以曲线C在点N处的切线斜率为k,与直线AB平行8 分 ()解:由已知,0k 设直线l的垂线为 l: 1 yxb k 代入 2 yx,可得 2 1 0 xxb k ( *) 若存在两点 3344 (,),(,)D x yE xy关于直线l对称, 则 34 1 22 xx k , 34 2 1 22 yy b k 又 3434 (,) 22 xxyy 在l上, 所以 2 11 ()1 22 bk kk ,
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