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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科数学 乐享玲珑,为中国数学增光添彩! 免费玲珑3D 画板,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用 第卷 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 复数i(2i)z(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 若集合 A=xR| 2 10axax其中只有一个元素,则a= A.4 B.2 C.0 D.0或 4 3. 3 sincos 23 若,则() A. 2 3 B. 1 3 C. 1 3 D. 2 3 4. 集合 A=2,3,B=1,2,3,从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4 的概率是 A 2 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 6 5. 总体编号为01,02, 19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取5 个个体,选取方法是 从随机数表第1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5 个个体的 编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 6. 下列选项中,使不等式x 1 x 2 x成立的 x 的取值范围是() A.(, 1) B. ( 1,0) C.( 0,1) D.( 1,+) 7.阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是 A.S 8 B. S9 C. S10 D. S 11 8.一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为 是 否是 否 开始1,0is1ii22si 21si 输出i结束 i 是奇数 A.200+9 B. 200+18 C. 140+9 D. 140+18 9. 已知点 A(2,0) ,抛物线C:x 2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交 于点 N,则 |FM|:|MN|= A.2:B.1:2 C. 1: D. 1:3 10.如图。已知l1l2,圆心在 l1上、半径为1m的圆 O 在 t=0 时与 l2相切于点A,圆 O 沿 l1以 1m/s的 速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令 y=cosx,则 y 与时间 t(0 x1,单位: s)的函数y=f (t)的图像大致为 二填空题:本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分。 11.若曲线1yx(R)在点( 1,2)处的切线经过坐标原点,则=。 12. 某住宅小区计划植树不少于100 棵,若第一天植2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的2 倍,则 需要的最少天数n(nN*)等于。 13 设 f( x)=sin3x+cos3x ,若对任意实数x 都有 |f (x)| a,则实数a的取值范围是。 14. 若圆 C经过坐标原点和点(4,0) ,且与直线y=1 相切,则圆C的方程是。 15. 如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且AB/CD, 则直线 EF与正方体的六个面 所在的平面相交的平面个数为。 三解答题本大题共6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12 分)正项数列 n a满足 2 (21)20 nn anan。 (1)求数列 n a的通项公式 n a; (2)令 1 (1) n n b na ,求数列 n b的前 n 项和 Tn。 17.(本小题满分12 分) 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b, c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b, c 成等差数列; (2) 若 C= 2 3 ,求 a b 的值。 18 (本小题满分12 分) 小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O 为起点,再从A1,A2,A 3,A4,A5,A6 (如图)这6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若 X0 就 去打球,若X=0 就去唱歌,若Xb0) 的离心率,a+b=3 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 如图, A,B,D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线DP交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP于点 M,设 BP的斜率为 k,MN 的斜率为m,证明 2m-k 为定值。 21 (本小题满分14 分) 设函数 1 ,0 ( ) 1 (1),1 1 xxa a f x x ax a ,a为 常数且a( 0,1) . (1)当a= 1 2 时,求 f ( f( 1 3 ); (2)若 x0满足 f (f (x0) = x0,但 f (x0) x0,则称 x0为 f (x)的二阶周期点,证明函数( )f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2; (3)对于( 2)中 x1, x2,设 A(x1,f (f ( x1), B(x2,f (f (x2) ,C( 2 a,0) ,记 ABC 的面积为s(a),求 s(a)在区间 1 3 , 1 2 上的最大值和最小值。 参考答案 一、选择题 1D 解: Z-2i-i 2 =1-2i 对应点这( 1,-2 )在第四象限 2A 01 0a当时, 不合,当 a0时,0,则 a=4 3C 2 11 cos12sin12 233 4C 解:所有情形有六种,满足要求的只有(2,2)和( 3,1)故只能选C 5D 解:从第5 列和第 6 列选出的两位数依次为65,72,08, 02,63,14,07,02,43,69,97, 28,01,98,但编号必须不大于20 的且不和前面重复的只能是08,02,14,07,01,选 D 6A 解:令 x=-2, 不等式成立,只能选A。 7B 解:依次运行i=1,2,3,4,时 s=0,5,8,9 若输出i=4, 则表示s=8 时运行是, s=9 运行否,故 选 B 8A 解:还原后的直观图是一个长宽高依次为10,6 ,5 的长方体上面是半径为3 高为 2 的半个圆 柱。 9C 解:依题意可得AF 所在直线方程为1 2 x y代入x 2=4y 得35 2 y,又 |FM| : |MN|=(1- y) : (1+y) 1: 10B 解:法 1:取特值x=0 时 t=0, 则 y=1 排除 A,D,取 2 x时 2 10.30.5 2 t, 选 B 法 2:依题意可知cos1 2 x t,则 22 cos2cos12(1)1(01) 2 x yxtt选 B 112 解: 1 yx,则k,故切线方程yx过点( 1,2)解得2 126 解:直接计算2+4+8+16+32+64128 得 n=6, 或解 231 222.222100 nn 得 n 为 6. 132a解: ( )3sin3cos32sin(3)f xxxx 得|( ) | 2f x故2a 14 22325 (2)() 24 xy解:设圆心坐标为(x,y), 半径为r ,则x=2, 又 222 2(1)rr 故 r= 5 2 ,则 3 2 y。 154 解:设 CD的中点为M ,连结EM ,FM易证平面EFM平面 ,则 EF 与平面 平行,不会相交, 故 EF 只与其余四个面相交。 16解:(21)20nn 2 nnnn 解:(1)由aa得(a -2n)(a+1)=0 由于 an是正项数列,则2n n a。 (2)由( 1)知2n n a,故 111 11 () (1)(1)(2 )2(1) n n b nannnn 11111111 (1.)(1) 222312122 n T nnnn n 17解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1. 故 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B 因为 sinB 不为 0,所以 sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得a+c=2b, 所以 a,b,c 成等差数列 (2)由余弦定理知 222 2coscabacC得 2222 (2)2cos 3 baabac化简得 3 5 a b 18解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1 。 (2)数量积为 -2 的只有 25 OAOA一种 数量积为 -1 的有 15 OAOA, 1624263435 ,OAOA OAOA OAOA OAOA OAOA六种 数量积为0 的有 13143646 ,OAOA OAOA OAOA OAOA四种 数量积为1 的有 12234556 ,OAOA OAOA OAOA OAOA四种 故所有可能的情况共有15 种。 所以小波去下棋的概率为 1 7 15 p 因为去唱歌的概率为 2 4 15 p,所以小波不去唱歌的概率 2 411 11 1515 pp 19解 . (1)证明:过B作 CD的垂线交 CD于 F,则 2,1,2BFADEFABDEFC 在36Rt BFEBERt BFCBC中,中, . 在 222 9BCEBEBCEC中,因为 ,故BEBC 由 1111 BBABCDBEBBBEBBC C平面,得,所以平面 (2) 1 11 1111 1 2 3 A B C EA B CVAAS三棱锥的体积 22 111111111 2Rt A D CACA DD C在中,=3, 同理, 22 11 2ECECCC=3, 222 11 3EAADEDAA=2 因此 11 5 AC E S3。设点 B1 到平面 11 EAC的距离为 d,则 111 BEAC三棱锥的体积 11 1 5 3 AEC VdSd,从而 10 52, 5 dd 20解: 2222 222 33 1 24 ccabb aaaa (1 )因为 e=故所以2ab再由 a+b=3 得 a=2,b=1, 2 2 1 4 x Cy椭圆的方程为: 1) 2 (2)因为 B(2,0), P不为椭圆顶点,则BP 方程为 y=k(x-2)(k0且k 将代入 2 2 1 4 x y,解得 2 22 824 (,) 4141 kk P kk 又直线 AD的方程为 1 1 2 yx 与联立解得 424 (,) 21 21 kk M kk 由 2 22 824 (0,1),(,),( ,0) 4141 kk DPN x kk 三点共线可角得 42 (,0) 21 k N k 所以 MN的分斜率为m=2 1 4 k ,则 211 2 22 k mkk(定值) 21解:(1)当 1 2 a=时, 121222 ( ),( )( )2(1) 333333 ffff ( 2 2 2 2 2 2 1 ,0 1 (), (1) 2) ( ) 1 (),1 (1) 1 (1),11 (1) xxa a axaxa aa ff x xa axaa a x aax aa 当 2 0 xa时,由 2 1 xx a 解得 x=0, 由于 f (0)=0, 故 x=0 不是 f (x)的二阶周期点; 当 2 axa时由 1 () (1) axx aa 解得 2 1 a x aa 2 (, ),aa 因 2222 11 () 1111 aaa f aaaaaaaaa 故 2 1 a x aa 是 f (x)的二阶周期点; 当 2 1axaa时,由 2 1 () (1) xax a 解得 1 2 x a 2 ( ,1)a aa 因 1111 ()(1) 2122 f aaaa 故 1 2 x a 不是 f (x)的二阶周期点; 当 2 11aa
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