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1 八年级数学上册复习提纲 第 11 章数的开方 11.1 平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。 (也叫做二次方根) 即:若x 2= a,则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根。它们互为相反数;(2)零 的平方根是零;(3)负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质: (1)一个正数的算术平方根只有一个且为正;(2) 零的算术平方根是零;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根的非负性:a 0。 三、平方根和算术平方根是记号:平方根 a(读作:正负根号a) ;算术 平方根 a(读作根号a) 即: “a”表示a的平方根,或者表示求a的平方根; “a”表示a的算 术平方根,或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。 负数没有平方根, 被开方数a必须为非负数, 即: a0。 四、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。其实质就是:已 知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。 (也叫做三次方根) 即:若x 3= a,则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质:(1)一个正数的立方根为正; (2)一个负数的立方根为 负; (3)零的立方根是零。 3、立方根的记号: 3 a(读作:三次根号a) ,a称为被开方数,“3”称为根 指数。 3 a中的被开方数a的取值范围是:a为全体实数。 六、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。其实质就是:已知指 数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项: 1、 “a” 、 “a” 、 “ 3 a”的实质意义:“a”问:哪个数的平方是a; “a”问:哪个非负数的平方是a; “ 3 a”问:哪个数的立方是a。 2、注意a和 3 a中的a的取值范围的应用。 如:若3x有意义,则x取值范围是。 (x-30,x3) 2 (填:x3) 若 32009 x有意义,则x取值范围是。 (填:全体实数) 3、 33 aa。如:327 3 ,327 3 , 33 2727 4、对于几个算数平方根比较大小,被开方数越大,其算数平方根的值也越 大。 如:256710等。23和 32怎么比较大小? (你知道吗?不知 道就问! ! ! ! ! ! ! ) 5、算数平方根取值范围的确定方法:关键:找邻近的“完全平方数的算数 平方根”作参照。 如:确定7的取值范围。479,273。 6、 几个常见的算数平方根的值: 414.12,732.13,236.25,449.26, 646.27。 八、补充的二次根式的部分内容 1、二次根式的定义:形如a(a0)的式子,叫做二次根式。 2、二次根式的性质: (1)baab?(a0,b0) ;(2) b a b a (a0, b0) ; (3) aa 2 )((a0) ; (4) | 2 aa 3、二次根式的乘除法:(1)乘法:abba ?(a0,b0) ; (2)除法: b a b a (a0,b0) 11.2 实数与数轴 一、无理数 1、无理数定义:无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数: (1)开方开不尽的数。如: 256710,2532617102,等。 (2) “”类的数。如:, 3 , 1 ,2等。 (3)无限不循环小数。如: 2.1010010001,-0.234242242224 ,等 二、实数 1、实数定义:有理数与无理数统称为实数。 2、与实数有关的概念: (1)相反数:实数a的相反数为 -a。若实数a、b互为相反数,则a+b=0。 (2)倒数:非零实数a的倒数为 a 1 (a0) 。若实数a、b互为倒数,则 ab=1。 (3)绝对值:实数a的绝对值为: )0( )0( 0 )0( | aa a aa a 3 3、实数的运算:有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。 4、实数的分类: (1)按照正负性分为:正实数、零、负实数三类。 (2)按照定义分为: 5、几个“非负数”: (1)a 20; (2)| a|0; (3)a0。 6、实数与数轴上的点是一一对应关系。 第 12 章整式的乘除 12.1 幂的运算 一、同底数幂的乘法 1、法则:a m a nap =a m+n+p+ ( m、n、p均为正整数) 文字:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 2、注意事项: (1)a可以是实数,也可以是代数式等。 如: 234=2+3+4=9;(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25; (2) 3( 2) 4=( 2) 3+4=( 2) 7;( a+b) 3( a+b) 4( a+b)= (a+b) 3+4+1=( a+b) 8 (2)一定要“同底数幂”“相乘”时,才能把指数相加。 (3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。 二、幂的乘方 1、法则: (a m ) n=amn (m、n均为正整数)。推广: (a m ) nps=amn p s 文字:幂的乘方,底数不变,指数相乘。 2、注意事项: (1)a可以是实数,也可以是代数式等。 如:( 2)3=23=6;( 2) 34=( 2) 34=( 2) 12;( a-b) 24= ( a-b) 24=( a-b) 8 (2)运用时注意符号的变化。 (3)注意该法则的逆应用,即:a mn = (a m ) n,如: a 15= ( a 3)5= ( a 5)3 三、积的乘方 1、法则: (ab) n=anbn( n为正整数)。推广: (acde) n=ancndnen 文字:积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。 2、注意事项: (1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。 如:(2) 3=222=42;( 23) 2=( 2) 2( 3) 2=23=6; (-2abc) 3=(-2)3a3b3c3=- 8a 3b3c3;( a+b)(a-b) 2=( a+b) 2( a-b) 2 (2)运用时注意符号的变化。 (3)注意该法则的逆应用,即:a nbn =( ab) n;如:2333= (2 3)3=63, (x+y) 2( x-y) 2=( x+y)(x-y) 2 四、同底数幂的除法 1、法则:a m a n=am-n (m、n均为正整数,mn,a0) 文字:同底数幂相除,底数不变,指数相减。 2、注意事项: 4 (1)a可以是实数,也可以是代数式等。 如: 43=4-3 = ;(-2) 5(-2)3=(-2)5-3 =(-2) 2=4; (2) 6( 2) 4=( 2) 6-4 =(2) 2=2;( a+b) 16( a+b) 14= ( a+b) 16-14 =(a+b) 2= a 2+ 2ab +b 2 (2)注意a0 这个条件。 (3) 注意该法则的逆应用, 即:a m-n =a m a n; 如: a x-y =a xay, ( x+y) 2a-3 =(x+y) 2a (x+y) 3 12.2 整式的乘法 一、单项式与单项式相乘 法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂 相乘,多余的字母照搬到最后结果中。 如:(-5a 2b2)(-4 b 2c)(- 2 3 ab)=(-5)(-4) (- 2 3 ) (a 2 a)(b 2 b 2) c =-30a 3b4c 二、单项式与多项式相乘 法则: (乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得 的积相加。 如: 22 ( 3)(21)xxx(-3x 2)(- x 2)+(-3 x 2)2 x一(-3x 2) 1= 432 363xxx 三、多项式与多项式相乘 法则: (1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将 所得的积相加。 如:(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2) 把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的 每一项,再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。 如:(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb 12.3 乘法公式 一、两数和乘以这两数的差 1、公式: (a+b)(a-b)=a 2- b 2;名称:平方差公式。 2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。 如:(10+9)(10-9)=10 2-92=100-81=19;(2 xy+a)(2xy-a)=(2xy) 2- a 2=4 x 2y2- a 2; (a+b+)( a+b -)=(2xy) 2- a 2=4 x 2y2- a 2; (2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才 能用平方差公式。 (3)注意公式的来源还是“多项式多项式”。 二、完全平方公式 1、公式: (ab) 2=a22a b+b2;名称:完全平方公式。 2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。 5 如: (2+3) 2=( 2) 2 +223+3 2=2+6 2+9=11+62; (mn-a) 2=( mn) 2 -2mna+ a 2= m2n2-2 mna+ a 2 ; ( a+b -) 2=( a+b) 2-2( a+b)+ 2= a2+2 a b+b 2-2 a-b + 2; (2)注意公式运用时的对位“套用” ; (3)注意公式中“中间的乘积项的符号” 。 3、补充公式: (a+ b+ c) 2=a2+c2+b2+2a b+ 2bc+2ca 特别提醒:利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:“一看二 套三计算”。 12.4 整式的除法 一、单项式除以单项式 法则:单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只 在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。 如:-21a 2b3c3ab =(-21 3)a 2-1 b 3-1 c =-7ab 2c (2x 2y)3 (-7xy2)14x4y3 =8x 6y3 (-7xy2)14x4y3=8(-7) x6+1 y 3+2 14x 4y3 =(-5614) x 7-4y5-3=-4x3y2 5 (2a+b ) 4 (2a+b )2= (51) (2a+b )4-2=5 (2a+bz2=5 (4a2+4ab+b2) =20a2+20ab+5b2 二、多项式除以单项式 法则: (乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得 的商相加。 如:(21x 4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2 (-7x 2y)=-3x2y2+5xy-y 4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y) (2x-y)=4y-2x 整式的运算顺序:先乘方(开方) ,再乘除,最后加减,括号优先。 12.5 因式分解 一、因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分 解。 (分解因式) 因式分解与整式乘法互为逆运算 二、提取公因式法:把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因 式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 公因式定义:多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 具体步骤:(1) “看” 。观察各项是否有公因式; (2) “隔” 。把每项的公因 式“隔离”出来;(3) “提” 。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项 式化为两个因式的积。 (a-b) 2n =(b-a) 2n (n 为正整数 ) ;(a-b) 2n+1 =-(b-a) 2n+1 (n 为正整数 ); 如:8a 2b-4ab+2a =2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1);-5 a 2+ 25 a=-5 6 aa+5a5=-5 a(a+5) (
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