1 2020 年中考数学复习专题复习：探究型问题 一、中考专题诠释 探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断， 补充并加以证 明的一类问题 根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探 究型等四类 二、解题策略与解法精讲 由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强， 灵活选择方法的要求较高，再加上题 意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识 一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之 间的因果联系， 选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、 结构独特 等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特 殊到一般，从而得出规律 2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是 能与已知条件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出 现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结 果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或 解决方法，并加以严密的论证 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时， 应更注重数学思想方 法的综合运用 三、中考考点精讲 考点一：动态探索型： 此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件 例 1 （ 2012? 自贡）如图所示，在菱形ABCD 中， AB=4 ， BAD=120 ， AEF 为 正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC、CD 上滑动，且E、F 不与 B、C、D 重合 （1）证明不论E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有BE=CF ； （2）当点 E、 F在 BC、 CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和 CEF 的面积是否发生变 化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 810360 分析：（1） 先求证 AB=AC ， 进而求证 ABC 、 ACD 为等边三角形， 得 4=60 ， AC=AB 进而求证 ABE ACF ，即可求得BE=CF； （2）根据 ABE ACF 可得 SABE=SACF，故根据S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；当正三角形AEF 的边 AE 与 BC 垂直时， 2 边 AE 最短 AEF 的面积会随着AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面 积会最小，又根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则 CEF 的面积就会最大 解答：（1）证明：连接AC，如下图所示， 四边形 ABCD 为菱形， BAD=120 ， 1+EAC=60 ， 3+EAC=60 ， 1=3， BAD=120 ， ABC=60 ， ABC 和 ACD 为等边三角形， 4=60 ， AC=AB ， 在 ABE 和 ACF 中， ， ABE ACF （ASA ） BE=CF ； （2）解：四边形AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化 理由：由（ 1）得 ABE ACF ， 则 SABE=SACF， 故 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值， 作 AH BC 于 H 点，则 BH=2 ， S四边形AECF=SABC=BC?AH=BC?=4， 由“ 垂线段最短 ” 可知：当正三角形AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边AE 最短 故 AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小， 又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时 CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形 AECFSAEF=4 2= 点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证 ABE ACF 是解题的关键，有一定难度 考点二：结论探究型： 此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目 例 3 （2012?盐城）如图所示，已知A、B 为直线 l 上两点，点C 为直线 l 上方一 动点，连接AC 、BC，分别以 AC 、BC 为边向 ABC 外作正方形CADF 和正方形 CBEG ， 过点 D 作 DD1 l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1 3 （1）如图，当点E 恰好在直线l 上时（此时E1与 E 重合） ，试说明 DD1=AB ； （2）在图中，当D、E 两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB 之间 的数量关系，并说明理由； （3）如图，当点E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB 之间的数量 关系 （不需要证明） 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。810360 专题：几何综合题。 分析：（1）由四边形CADF 、CBEG 是正方形，可得AD=CA ， DAC= ABC=90 ，又 由同角的余角相等，求得ADD1=CAB ，然后利用 AAS 证得 ADD1 CAB ，根据全 等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB ； （2） 首先过点C 作 CHAB 于 H， 由 DD1AB ， 可得 DD1A=CHA=90 ， 由四边形 CADF 是正方形，可得AD=CA ，又由同角的余角相等，求得ADD1=CAH ，然后利用 AAS 证 得 ADD1 CAH ，根据全等三角形的对应边相等，即可得 DD1=AH ，同理 EE1=BH ，则 可得 AB=DD 1+EE1 （3）证明方法同（2） ，易得 AB=DD1EE1 解答：（1）证明：四边形CADF 、CBEG 是正方形， AD=CA ， DAC= ABC=90 ， DAD1+CAB=90， DD1 AB， DD1A=ABC=90， DAD1+ADD1=90 ， ADD1=CAB ， 在 ADD1和 CAB 中， ， ADD1 CAB （AAS ） ， DD1=AB ； （2）解： AB=DD1+EE1 证明：过点C 作 CH AB 于 H， DD1 AB， DD1A=CHA=90 ， DAD1+ADD1=90 ， 4 四边形 CADF 是正方形， AD=CA ， DAC=90 ， DAD1+CAH=90 ， ADD1=CAH ， 在 ADD1和 CAH 中， ， ADD1 CAH （AAS ） ， DD1=AH ； 同理： EE1=BH ， AB=AH+BH=DD1+EE1； （3）解： AB=DD 1EE1 证明：过点C 作 CH AB 于 H， DD1 AB， DD1A=CHA=90 ， DAD1+ADD 1=90 ， 四边形 CADF 是正方形， AD=CA ， DAC=90 ， DAD1+CAH=90 ， ADD1=CAH ， 在 ADD1和 CAH 中， ， ADD1 CAH （AAS ） ， DD1=AH ； 同理： EE1=BH ， AB=AH BH=DD 1EE1 点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中， 注意数形结 合思想的应用，注意掌握辅助线的作法 5 例 4 （2012?丽水）在直角坐标系中，点A 是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过 点 O 作 OBOA ，交抛物线于点B，以 OA 、OB 为边构造矩形AOBC （1）如图 1，当点 A 的横坐标为时，矩形AOBC 是正方形； （2）如图 2，当点 A 的横坐标为时， 求点 B 的坐标； 将抛物线y=x 2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线y=x2，试判断抛物线y=x2经过平 移交换后，能否经过A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理 由 考点：二次函数综合题。810360 专题：代数几何综合题。 分析：（1）过点 A 作 AD x 轴于点 D，根据正方形的对角线平分一组对角可得 AOC=45 ，所以 AOD=45 ，从而得到 AOD 是等腰直角三角形，设点A 坐标为（ a， a） ，然后利用点A 在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解； （2）过点A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，先利用抛物线解析式求出 AE 的长度， 然后证明 AEO 和 OFB 相似， 根据相似三角形对应边成比例列式求出OF 与 BF 的关系，然后利用点B 在抛物线上，设出点B 的坐标代入抛物线解析式计算即可得解； 过点 C 作 CGBF 于点 G，可以证明 AEO 和 BGC 全等， 根据全等三角形对应边相等 可得 CG=OE ，BG=AE ，然后求出点C 的坐标， 再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线 的形状利用待定系数法求出过点A、 B 的抛物线解析式， 把点 C 的坐标代入所求解析式进行 验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式， 根据顶点坐标写出变换过程即可 解答：解： （1）如图，过点A 作 AD x 轴于点 D， 矩形 AOBC 是正方形， AOC=45 ， AOD=90 45 =45 ， AOD 是等腰直角三角形， 设点 A 的坐标为（a， a） （a0 ） ， 则（ a） 2=a， 解得 a1= 1，a2=0（舍去）， 点 A 的坐标 a=1， 故答案为： 1； （2）过点A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F， 6 当 x=时， y=（） 2= ， 即 OE=，AE=， AOE+ BOF=180 90 =90 ， AOE+ EAO=90 ， EAO= BOF， 又 AEO= BFO=90 ， AEO OFB ， =， 设 OF=t，则 BF=2t， t 2=2t， 解得： t1=0（舍去），t2=2， 点 B（2， 4） ； 过点 C 作 CGBF 于点 G， AOE+ EAO=90 ， FBO+ CBG=90 ， AOE= FBO， EAO= CBG， 在 AEO 和 BGC 中， AEO BGC（AAS ） ， CG=OE=，BG=AE= xc=2 =，yc=4+=， 点 C（，） ， 设过 A （， ） 、 B （2， 4） 两点的抛物线解析式为y=x 2+bx+c ， 由题意得， ， 解得， 经过 A、B 两点的抛物线解析式为y=x 2+3x+2 ， 当 x=时， y=（） 2+3 +2= ，所以点C 也在此抛物线上， 故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为y=x2+3x+2= （ x ） 2+ 7 平移方案： 先将抛物线y=x2向右平移个单位， 再向上平移个单位得到抛物线y=（x ） 2+ 点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全 等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用 点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一 考点三：规律探究型： 规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、 推理等一系列的数学思维过程，来 探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细 致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理 的证明或加以运用. 例 5 （2012?青海） 如图 （* ） ， 四边形 ABCD 是正方形，点 E是边 BC 的中点，AEF=90 ， 且 EF 交正方形外角平分线CF 于点 F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所 提出的问题 （1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF ，这需要证明AE 和 EF 所在的两个三 角形全等