第1页 共 12 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年级 ：上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ：数学学 科 教 师 ： 课题 直线、平面平行的性质复习 课型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教学内容 直线、平面平行的性质复习 【要点梳理】 知识点一、直线和平面平行的性质 文字语言 ：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线 面平行则线线平行. 符号语言 ：若/a，a，bI，则/ab. 图形语言： 要点诠释： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”可以用符号表示：若a， bI，则 ab这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与 b 平行时，必 须具备三个条件：（1）直线 a 和平面平行，即a；（ 2）平面和相交，即bI； （ 3）直线 a在平面内，即a三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行 于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误 知识点二、平面和平面平行的性质 文字语言： 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言 ：若/，aI，bI，则/ab. 图形语言 ： 第2页 共 12 页 要点诠释： （ 1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理 （ 2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线 并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有 公共点） 要点三、平行关系的综合转化 空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行这三种关系不是孤立的，而是互相联系的它们之间 的转化关系如下： 证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理 有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆： 空间之中两直线，平行相交和异面 线线平行同方向，等角定理进空间 判断线和面平行，面中找条平行线； 已知线和面平行，过线作面找交线 要证面和面平行，面中找出两交线 线面平行若成立，面面平行不用看 已知面与面平行，线面平行是必然 若与三面都相交，则得两条平行线 【典型例题】 类型一：直线与平面平行的性质 例 1四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M是 PC 的中 点，在 DM 上取一点G，过 G 和 AP 作平面交平面BDM 于 GH求证：APGH 【解析】如图，连接AC 交 BD 于 O，连接 MO ， 四边形ABCD 是平行四边形， O 是 AC 的中点，又M 是 PC 的中点， APOM 根据直线和平面平行的判定定理，则有PA平面 BMD 平面 PAHG平面 BDM=GH ， 第3页 共 12 页 根据直线和平面平行的性质定理，PAGH 【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2） 确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论 举一反三： 【变式 1】已知直线a平面，直线a平面，平面I平面=b，求证/ab 证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d， a平面，,acI，a平面，,adI ac，ad，cd， 又d平面，c平面，c平面， 又c平面，平面平面=b， cb，又ac，ab 【总结升华】 证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证 明线线平行最常用的方法之一 例 2如图所示， 已知异面直线AB 、CD 都平行于平面，且 AB 、CD 在的两侧， 若 AC、BD 与分别交于 M 、N 两点，求证： AMBN MCND 【解析】如图所示，连接AD 交平面于 Q，连接 MQ 、NQMQ、NQ 分别是平面 ACD 、平面 ABD 与的交线 CD，AB， CDMQ，AB NQ 于是 AMAQ MCDQ ， DQDN AQNB ， AMBN MCND 【总结升华】 利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定 理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题 在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作 出辅助平面，本例通过连接AD 作出平面ACD 与平面 ABD ，得到交线MQ 和 NQ 举一反三： 【变式 1】如图所示，在三棱锥PABC中，PA=4 ，BC=6 ，与 PA 、BC都平行的截面 四边形 EFGH 的周长为 l，试确定l的取值范围 【解析】 与 PA 、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA ，另二边平行于BC ， 故它是一个平行四边形， EFAF BCAC ， BC AF EF AC g ，同理， GFCF PAAC ， dc b a 第4页 共 12 页 PA CF GF AC g ， 四边形 EFGH 的周长 =2（EF+FG ）= BC AF AC g + PA CF AC g = 128AFCF AC =8+4 AF AC 因为 0PF/PB1,截面四边形EFGH的周长 l 应大于小于12，8l12. 类型二：平面与平面平行的性质 例 3 如图所示， 平面平面，A，C， B,D， 点 E， F 分别在线段AB，CD 上，且 AECF EBFD 求 证： EF 【解析】（ 1）当 AB ，CD 共面时， ，且平面ABDC =AC ，平面 ACDB =BD ， ACBD， 四边形ABDC 是梯形或平行四边形 由 AECF EBFD ，得 EFBD ， 又 BD，EF， EF （ 2）当 AB， CD 异面时，作AH CD 交于 H， ，且平面AHDC 与平面，的交线分别为AC ，HD ， ACHD 四边形AHDC 为平行四边形 作 FGDH 交 AH 于 G，连接 EG，于是 CFAG FDGH AECF EBFD ， AEAG EBGH 从而 EGBH，而 BH，EG， EG 又 FGDH ，DH，FG， FG EGFG=G，平面EFG 又 EF平面 EFG， EF 【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的 综合运用解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题如在本例的第二种情况：面 面平行线线平行平行四边形线面平行面面平行线面平行 （ 2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一 个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG得 出 EF，便是这一性质的灵活运用 第5页 共 12 页 举一反三： 【变式 1】 已知面平面，点 A，C，点 B，D，直线 AB，CD 交于点 S，且 SA=8，SB=9，CD=34 （ 1）若点 S在平面，之间，则SC=_； （ 2）若点 S不在平面，之间，则SC=_ 【答案】（ 1）16 （2）272 【变式 2】 四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是菱形，点E 在 PD 上，且 PEED=21，问在棱PC 上能否找 到一点 F，使 BF平面 AEC ？试说明你的看法 【解析】如图，当F 是 PC 的中点时， BF平面 AEC 理由：取PE 的中点 M，连接 FM，则 FMCE 所以 1 2 EMPEED，所以 E 是 MD 的中点 连接 BM 、BD，设 BD AC=O ，则 O 为 BD 的中点， 所以 BM OE 又 BM FM=M ，OECE=E，BM平面 BFM ，FM平面 BFM ， OE平面 AEC，CE平面 AEC ，所以平面BFM 平面 AEC 又 BF平面 BFM ，所以 BF平面 AEC 类型三：线面平行的判定与性质的综合应用 例 4如图所示，已知平面平面，AB 与 CD 是两条异面直线，且AB，CD如果 E，F， G 分别是 AC ，CB，BD 的中点，求证：平面EFG 【解析】由已知条件可知EFAB， FGCD EF，FG 与 CD 可确定一个平面， 设 BM=平面 CDGF，由于/， 故有 CDBMFGBMFG 如果 E，F，G 三点共线，则有G平面ABCBG平面 ABCD平面 ABC ，即 A，B，C，D 共面，与AB， CD 是异面直线矛盾故E，F，G 三点不共线，即EF 与 FG 是平面 EFG 内的两条相交直线平面EFG，而/，故平面EFG 【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互 转化，使之统一 （ 2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时， 必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅 助平面 例 5. 如图，已知正方体 1111 ABCDA B C D中，面对角线 1 AB、 1 BC上分别有两 第6页 共 12 页 点 E、F，且 11 B EC F，求证： EF平面 ABCD 证明： 证法一：过E、F 分别作 AB、BC的垂线 EM 、FN分别交 AB 、 BC于 M 、N，连接 MN 1 BB平面 ABCD ， 1 BBAB ， 1 BBBC ， EM 1 BB，FN 1 BB， EM FN ， 1 AB= 1 BC， 1 B E= 1 C F， AE=BF ，又 1 BAB= 1 C BC=45， RtAME Rt BNF ， EM=FN 四边形MNFE 是平行四边形，EF MN 又 MN平面 ABCD ， EF平面 ABCD 证法二：过E作 EG AB交 1 BB于 G，连接 GF ， 11 11 B EB G B AB B ， 11 B EC F， 11 B AC B， 11 11 C FB G C BB B ， FG 11 B CBC 又 EGIFG=G ，ABIBC=B ，平面EFG 平面 ABCD 又 EF平面 EFG ， EF平面 ABCD 总结升华： 在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住 “线线平行线 面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策 略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质 举一反三： 【变式 1】 如图所示，已知点P 是YABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB 、PC 的中点，平面PBC 平面 APD=l （ 1）求证： lBC； （ 2）MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论 【解析】方法一：（1）因为 BCAD ，BC平面 PAD，AD平面 PAD，所 以 BC平面 PAD 又因为平面PBC平面 PAD=l，所以 BCl （ 2）平行如下图（1），取 PD 的中点E，连接AE，NE，可以证得NEAM 且 NE=AM 所以四边形 AMNE 是平行四边形 所以 MN AE所以 MN 平面 PAD 第7页 共 12 页 方法二：（ 1）因为 AD BC，AD平面 PBC，BC平面 PBC，所以 AD 平面 PBC 又因为平面PBC平面 PAD=l，所以lAD 因为 AD BC，所以lBC （ 2）平行如下图（2），设 Q 是 CD 的中点，连接NQ，MQ ，则 MQ AD ，NQPD，而 MQNQ=Q ， 所以平面MNQ 平面 PAD 又因为 MN平面 MNQ ，所以 MN 平面 PAD 例 6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内 已知：直线a平面，B，Bb，b a，求证： b 【证明】证法一：如图，假设b， 过直线 a 和点 B 作平面，bI a，/ba 这样过点B 就有两条直线b 和 b同时平行于直线a，与平行公理矛盾，故 b 必在内