1,1.3单调有界定理及其应用,定义4.1 (单调数列定义),一、 单调有界定理,则称 是严格单调递增（递减）数列.,单调有界数列,观察下面单调递增的有界数列,定理4.1 单调有界数列必有极限.,单调有界数列,证明,单调有界数列,单调有界数列,推论4.1,(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；,(2)若单调数列的一个子列趋向去穷 ,则此数列发散；,(3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷；,(4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界,单调有界数列,(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；,单调有界数列,例1,证,(舍去),应用举例,例2,应用举例,例3,证明:,应用举例,应用举例,例4,应用举例,证明:,应用举例,例5 研究下面两数列的极限,解：,应用举例,应用举例,应用举例,应用举例,例6 求,解：,例7,应用举例,单调,应用举例,有界,欧拉常数是有理数还是无理数还是个开放问题,二、 闭区间套定理,即,闭区间套定理,闭区间套定理,例8,证明,证明:,闭区间套定理应用,即构成闭区间套,三、小结,(1)若单调数列的一个子列收敛，则这个数列收敛,(3)单调数列要么极限存在要么趋向到无穷,(4) 单调数列收敛的充分必要件是有界,(2) 若单调数列的一个子列趋向于无穷， 则此数列趋向无穷,(5) 闭区间套定理,小结,29,作业,习题1.4 1, 2, 4, 5，6, 7, 8,