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2019-2020学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期期末考试数学(理)试题一、单选题1中,若,则的形状为( )A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D锐角三角形【答案】B【解析】通过三角形的内角和,以及两角和的正弦函数,化简方程,求出角的关系,即可判断三角形的形状【详解】因为sinC=2sinAcosB,所以sin(A+B)=2sinAcosB,所以sinAcosB-sinBcosA=0,即sin(A-B)=0,因为A,B,C是三角形内角,所以A=B三角形的等腰三角形故答案为B2在ABC中,角A、B、C所对的边分别为,己知A=60,则B=( )A45B135C45或135D以上都不对【答案】A【解析】利用正弦定理求出的值,再结合,得出,从而可得出的值【详解】由正弦定理得,则,所以,故选A【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,要注意正弦定理所适用的基本情形,同时在求得角时,利用大边对大角定理或两角之和不超过得出合适的答案,考查计算能力,属于中等题3若,且,则下列不等式中,恒成立的是ABCD【答案】D【解析】试题分析:,所以A错;,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当时,B错;同时C错;或都是正数,根据基本不等式求最值,故D正确【考点】不等式的性质4设,是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A若,则B若,则C若,则D若,则【答案】D【解析】试题分析:,,故选D.【考点】点线面的位置关系.5我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍,则塔的底层共有灯( )A盏B盏C盏D盏【答案】C【解析】设塔的顶层共有盏灯,第层的灯有盏,则数列是公比为的等比数列,利用等比数列的前项和公式可求得的值,进而可求得塔的底层的灯的盏数.【详解】设塔的顶层共有盏灯,第层的灯有盏,则数列是公比为的等比数列,由题意可知,一座层塔所挂的灯的盏数为,解得.因此,塔的底层的灯的盏数为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列及其前项和基本量的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.6设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为( )A0B1C2D3【答案】D【解析】如图,作出不等式组表示的可行域,则目标函数经过时z取得最大值,故,故选D点睛:本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围7已知等差数列、,其前项和分别为、,则( )ABCD【答案】A【解析】利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出,于此可得出结果【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得,同理可得,因此,故选A【点睛】本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用,解题关键在于等差数列下标性质的应用,能起到简化计算的作用,考查计算能力,属于中等题8网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是最某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】【详解】由三视图,可知该几何体是如图所示的四面体,其中底面和侧面是底边为的等腰直角三角形,侧面均为以为底边的等腰三角形,取的中点,连接,则,则该四面体的表面积为.故选A.9在各项均为正数的等差数列中,为其前项和,则的最小值为( )A9BCD2【答案】B【解析】根据等差数列的性质和前项和公式求得,然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值【详解】由题意,当且仅当,即时等号成立故选:B【点睛】本题考查等差数列的性质,考查基本不等式求最值解题基础是掌握等差数列的性质,掌握基本不等式求最值中“1”的代换法10如图,平面四边形中,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,可知平面将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得又,故在中,此即为外接球半径,从而外接球表面积为故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属中档题.11如图,已知正方体的棱长为2,为棱的中点,为棱上的点,且满足,点、为过三点、的面与正方体的棱的交点,则下列说法错误的是( )AB三棱锥的体积C直线与面的夹角是D【答案】C【解析】根据面面平行的性质定理,判断A选项是否正确,计算出三棱锥的体积判断B选项是否正确,计算直线与平面所成角的正切值,判断C选项是否正确,计算的值判断D选项是否正确.【详解】对于A选项,由于平面平面,而平面与这两个平面分别交于和,根据面面平行的性质定理可知,故A选项判断正确.由于,而是中点,故.对于B选项,故B选项判断正确.对于C选项,由于平面,所以直线与平面所成角为,且,故C选项判断错误.对于D选项,根据前面计算的结果可知,故D选项判断正确.综上所述,本小题选C.【点睛】本小题主要考查面面平行的性质定理,考查三棱锥体积计算,考查线面角的概念,考查平行与比例等知识,综合性较强,属于中档题.12中,已知,设D是边的中点,且的面积为,则等于( )A2B4C-4D-2【答案】A【解析】根据正、余弦定理求出;根据三角形面积公式求出;再根据D是边的中点,将,用和表示,再根据数量积的定义,即可求出结果【详解】, , ,即, ,又角是的内角, 又,即 ,;又D是边的中点.故选:A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,同时考查了平面向量基本定理和数量积运算,属中档题二、填空题13不等式的解集是_【答案】【解析】直接利用一元二次不等式的解法求解【详解】不等式可化为,解得;该不等式的解集是故答案为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,解题时先把不等式化简,再求解集,是基础题14两条平行直线与之间的距离为_【答案】【解析】根据平行得到,再计算平行直线距离得到答案.【详解】两直线平行,,将直线方程化为:,故,则两直线距离:.故答案为:.【点睛】本题考查了根据直线平行求参数,平行直线间距离,意在考查学生的计算能力和转化能力.15已知实数满足,则的最小值为_【答案】【解析】实数满足表示点在直线上,可以看作点到原点的距离,最小值是原点到直线的距离,根据点到直线的距离公式求解.【详解】因为实数满足1所以表示直线上点到原点的距离,故的最小值为原点到直线的距离,即,故的最小值为1.【点睛】本题考查点到点,点到直线的距离公式,此题的关键在于的最小值所表示的几何意义的识别.16已知在中,顶点,点在直线:上,点在轴上,则的周长的最小值_.【答案】【解析】设点关于直线:的对称点,点关于轴的对称点为,连接交于,交轴于,则此时的周长取最小值,且最小值为,利用对称知识求出和,再利用两点间距离公式即可求解.【详解】如图:设点关于直线:的对称点,点关于轴的对称点为,连接交于,交轴于,则此时的周长取最小值,且最小值为,与关于直线:对称, ,解得:,易求得:,的周长的最小值.故答案为:.【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法,体现了数形结合的数学思想,综合性较强.三、解答题17已知直线恒过定点.()若直线经过点且与直线垂直,求直线的方程;()若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3,求直线的方程.【答案】();()或.【解析】()求出定点的坐标,设要求直线的方程为,将点的坐标代入方程可求得的值,即可写出直线的方程()分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,根据点到直线的距离公式即可得到答案【详解】直线可化为,由可得,所以点A的坐标为. ()设直线的方程为,将点A代入方程可得,所以直线的方程为,()当直线斜率不存在时,因为直线过点A,所以直线方程为,符合原点到直线的距离等于3. 当直线斜率不存在时,设直线方程为,即因为原点到直线的距离为3,所以,解得所以直线的方程为综上所以直线的方程为或.【点睛】本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法,点到直线的距离公式,主要分斜率存在和不存在两种情况讨论,属于基础题18如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,E为DD1中点.(1)求证:BD1平面ACE;(2)求证:BD1AC.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)设AC与BD交于点O,连接OE,根据菱形的性质和三角形的中位线定理可得OED1B,再由线面平行的判定定理可得证;(2)由菱形的性质可得ACBD,再由线面垂直的性质得DD1AC,根据线面垂直的判定和性质可得证.【详解】(1)设AC与BD交于点O,连接OE,底面ABCD是菱形,O为DB中点,又因为E是DD1的中点,OED1B,OE面AEC,BD1平面AEC,BD1平面ACE.(2)底面ABCD是菱形,ACBD,DD1底面ABCD,DD1AC,且DBDD1D,AC平面BDB1D1.BD1平面BDD1B1,ACBD1. 【点睛】本题考查线面平行的判定,线面垂直的判定和性质,关键在于运用空间里的线线,线面,面面的平行和垂直的判定和性质,属于中档题.19已知数列为等差数列,且依次成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,若,求的值.【答案】(1) (2) 【解析】(1)设等差数列的公差为d,运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式;(2)求得bn(),运用裂项相消求和可得Sn,解方程可得n【详解】解:(1)设数列an为公差为d的等差数列,a7a210,即5d10,即d2,a1,a6,a21依次成等比数列,可得a62a1a21,即(a1+10)2a1(a1+40),解得a15,则an5+2(n1)2n+3;(2)bn(),即有前n项和为Sn()(),由Sn,可得5n4n+10,解得n10【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数
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