7.5 可降阶的高阶微分方程,本节考虑n阶微分方程,中的如下的三种特殊类型:,y(n)=f(x),特点：,特点：,解法:,例1,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,降低了方程的阶数,例2 求方程 xy”+y=1通解。 解： y=P(x)， xp+p=1 , -ln(1-p)=lnx+lnC1 = p=1- C1/x 通解： y =x-C1lnx+C2,例3,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,降低了方程的阶数,解,代入原方程得,原方程通解为,例 1,例2,解,代入方程，得,故方程的通解为,解,代入原方程得,原方程通解为,例 3,4)不显含x,y，用不显含y的方法简单。 例 y”+(y)2=0 解：y=P(x)， p=y=1 / (x+C1) y=ln(C1+x)+C2,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,附1) 恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 3,解,将方程写成,积分后得通解,例1,5)凑导数法,例2 已知曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程,并且与另一条曲线y=ex 相切于点(0,1), 求此曲线的方程.,解 曲线满足初值问题,练习:,2.,解,代入方程，得,故方程的通解为,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,1、,更一般的情况, 如,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,