感悟数学思想 学好整式运算数学思想方法是数学的灵魂, 掌握一种思想方法比做很多题目更为重要.下面就将本章中蕴涵的数学思想提炼如下：一、 转化思想转化思想就是将未知转化为已知,将复杂转化为简单,将陌生转化为熟悉,将实际问题转化为数学问题的一种数学思想,可以说解决数学问题时,转化思想几乎无处不在.如在整式乘法中，就是运用法则将多项式与多项式相乘，转化为单项式与多项式相乘，进而转化为单项式与单项式相乘等，再看下面的例子.例 1 计算：2008 3-200720082009.分析：直接计算显然较繁，注意到原式中的各数的联系,可恰当的利用字母代替数,从而把数的计算转化为代数式的化简,可使问题很快解决.解：设 2008=a，则原式=a 3-(a-1) a(a+1)=a3-a(a2-1)= a3-a3+a=2008.二、整体思想在解决某些数学问题时,加强宏观意识和“大局”观念,把一组数或一个代数式或几个图形看作一个整体进行处理,不仅可以简化解题过程,而且还能拓宽思路,培养创新意识.例 2 已知 x+y=4,xy=1，求代数式（ x2+1） （y 2+1）的值.分析：由已知条件求出 x,y 的值，再代入待求式计算较困难，可考虑将待求式变形，用 x+y 和 xy 来表示然后整体代入求值.解：（x 2+1） （y 2+1）=x 2y2+x2+y2+1=(xy)2+(x+y)2-2xy+1.把 x+y=4,xy=1 整体代入， 可得原式=1 2+42-21+1=16.三、逆向运用的思想幂的运算性质和乘法公式（平方差公式与完全平方公式）不仅可以正向运用，还可以逆向运用例 3 已知 am=3,an=2，求 a3m-2n 的值；（2）计算（2a 3b） 2-（2a-3b） 2分析：（1）先可逆用同底数的除法法则，再逆用幂的乘方的法则，即可代入求值；（2）中若直接运用完全平方公式计算比较麻烦，若逆用平方差公式可简化计算解：（1）a 3m-2n=a3m a2n= （a m） 3（a n） 2=3322= ；47（2）原式=（ 2a3b）（2a-3b） （2a3b）（2a-3b） =4a6b=24ab 四、数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休” 数与形是数学中的两种表现形式，在一定条件下可以相互转化,相互渗透,二者有机结合,则可以形助数、以数解形.例4 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形 (ab),再沿虚线剪开,如图(1),然后拼成一个梯形(2), 如图,根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是( )(A) (a+b)(a-b)= a2-b2. (B)(a+b)2=a2+2ab+b2.(C)(a-b)2=a2-2ab+b2. (D) (a-b)2= a2-b2.分析:图(1)中阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即a 2-b2；图(2)是一个上底为2b、下底为2a、高为（a-b）的等腰梯形，其面积是 (2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b).由图(2)的面积与图(1)中阴影部分1的面积相等，得 (a+b)(a-b)= a2-b2. 解：选(A).